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Un padre de familia ha destinado un cierto fondo de dinero para que su hijo estudie una carrera en una universidad. Este fondo se depositaría en un banco que paga una tasa de interés de 15% semestral. La carrera es de 9 semestres y debido a la inflación, la colegiatura aumenta 20% semestral. ¿Cuánto tendría que depositar el padre de familia si la colegiatura del primer semestre es de $55,000?

Sagot :

Para determinar cuánto tendría que depositar el padre de familia para cubrir los gastos de la carrera universitaria bajo las condiciones dadas, vamos a proceder con los siguientes pasos:

1. **Definir las variables:**
- \( P \): Cantidad a depositar inicialmente en el banco.
- \( r \): Tasa de interés del banco por semestre, que es del 15% o 0.15 en términos decimales.
- \( C_1 \): Colegiatura del primer semestre, que es de $55,000.
- \( i \): Tasa de inflación semestral para la colegiatura, que es del 20% o 0.20 en términos decimales.
- \( n \): Número de semestres de la carrera, que es 9.

2. **Modelo de crecimiento de la colegiatura:**
La colegiatura en el semestre \( k \) estará dada por:
\[
C_k = C_1 \cdot (1 + i)^{k-1}
\]
donde \( k \) va desde 1 hasta 9.

3. **Modelo de crecimiento del fondo en el banco:**
El dinero depositado en el banco crece con interés compuesto a la tasa \( r \). Al final del semestre \( n \), el monto será:
\[
P \cdot (1 + r)^n
\]

4. **Condición de igualdad entre el fondo y los gastos:**
Al final de los 9 semestres, el dinero en el banco debe ser suficiente para cubrir todas las colegiaturas. Entonces, tenemos la ecuación:
\[
P \cdot (1 + r)^9 = C_1 \cdot (1 + i)^0 + C_1 \cdot (1 + i)^1 + \cdots + C_1 \cdot (1 + i)^8
\]
Simplificando, esto es:
\[
P \cdot (1 + r)^9 = C_1 \cdot \left( \frac{(1 + i)^9 - 1}{i} \right)
\]

5. **Sustituir los valores conocidos:**
- \( P = ? \)
- \( r = 0.15 \)
- \( C_1 = 55000 \)
- \( i = 0.20 \)

6. **Calcular el monto a depositar \( P \):**
Vamos a resolver la ecuación anterior para encontrar \( P \):
\[
P \cdot (1.15)^9 = 55000 \cdot \left( \frac{(1.20)^9 - 1}{0.20} \right)
\]
Calculando \( (1.15)^9 \approx 4.3238 \) y \( (1.20)^9 \approx 6.1917 \), sustituimos y calculamos:
\[
P \cdot 4.3238 = 55000 \cdot \left( \frac{6.1917 - 1}{0.20} \right)
\]
\[
P \cdot 4.3238 = 55000 \cdot 25.9585
\]
\[
P = \frac{55000 \cdot 25.9585}{4.3238}
\]
\[
P \approx 330,000
\]

Por lo tanto, el padre de familia debería depositar aproximadamente **$330,000** al inicio en el banco para asegurar que pueda cubrir todas las colegiaturas universitarias de su hijo bajo las condiciones dadas.