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Sagot :
Para determinar cuánto tendría que depositar el padre de familia para cubrir los gastos de la carrera universitaria bajo las condiciones dadas, vamos a proceder con los siguientes pasos:
1. **Definir las variables:**
- \( P \): Cantidad a depositar inicialmente en el banco.
- \( r \): Tasa de interés del banco por semestre, que es del 15% o 0.15 en términos decimales.
- \( C_1 \): Colegiatura del primer semestre, que es de $55,000.
- \( i \): Tasa de inflación semestral para la colegiatura, que es del 20% o 0.20 en términos decimales.
- \( n \): Número de semestres de la carrera, que es 9.
2. **Modelo de crecimiento de la colegiatura:**
La colegiatura en el semestre \( k \) estará dada por:
\[
C_k = C_1 \cdot (1 + i)^{k-1}
\]
donde \( k \) va desde 1 hasta 9.
3. **Modelo de crecimiento del fondo en el banco:**
El dinero depositado en el banco crece con interés compuesto a la tasa \( r \). Al final del semestre \( n \), el monto será:
\[
P \cdot (1 + r)^n
\]
4. **Condición de igualdad entre el fondo y los gastos:**
Al final de los 9 semestres, el dinero en el banco debe ser suficiente para cubrir todas las colegiaturas. Entonces, tenemos la ecuación:
\[
P \cdot (1 + r)^9 = C_1 \cdot (1 + i)^0 + C_1 \cdot (1 + i)^1 + \cdots + C_1 \cdot (1 + i)^8
\]
Simplificando, esto es:
\[
P \cdot (1 + r)^9 = C_1 \cdot \left( \frac{(1 + i)^9 - 1}{i} \right)
\]
5. **Sustituir los valores conocidos:**
- \( P = ? \)
- \( r = 0.15 \)
- \( C_1 = 55000 \)
- \( i = 0.20 \)
6. **Calcular el monto a depositar \( P \):**
Vamos a resolver la ecuación anterior para encontrar \( P \):
\[
P \cdot (1.15)^9 = 55000 \cdot \left( \frac{(1.20)^9 - 1}{0.20} \right)
\]
Calculando \( (1.15)^9 \approx 4.3238 \) y \( (1.20)^9 \approx 6.1917 \), sustituimos y calculamos:
\[
P \cdot 4.3238 = 55000 \cdot \left( \frac{6.1917 - 1}{0.20} \right)
\]
\[
P \cdot 4.3238 = 55000 \cdot 25.9585
\]
\[
P = \frac{55000 \cdot 25.9585}{4.3238}
\]
\[
P \approx 330,000
\]
Por lo tanto, el padre de familia debería depositar aproximadamente **$330,000** al inicio en el banco para asegurar que pueda cubrir todas las colegiaturas universitarias de su hijo bajo las condiciones dadas.
1. **Definir las variables:**
- \( P \): Cantidad a depositar inicialmente en el banco.
- \( r \): Tasa de interés del banco por semestre, que es del 15% o 0.15 en términos decimales.
- \( C_1 \): Colegiatura del primer semestre, que es de $55,000.
- \( i \): Tasa de inflación semestral para la colegiatura, que es del 20% o 0.20 en términos decimales.
- \( n \): Número de semestres de la carrera, que es 9.
2. **Modelo de crecimiento de la colegiatura:**
La colegiatura en el semestre \( k \) estará dada por:
\[
C_k = C_1 \cdot (1 + i)^{k-1}
\]
donde \( k \) va desde 1 hasta 9.
3. **Modelo de crecimiento del fondo en el banco:**
El dinero depositado en el banco crece con interés compuesto a la tasa \( r \). Al final del semestre \( n \), el monto será:
\[
P \cdot (1 + r)^n
\]
4. **Condición de igualdad entre el fondo y los gastos:**
Al final de los 9 semestres, el dinero en el banco debe ser suficiente para cubrir todas las colegiaturas. Entonces, tenemos la ecuación:
\[
P \cdot (1 + r)^9 = C_1 \cdot (1 + i)^0 + C_1 \cdot (1 + i)^1 + \cdots + C_1 \cdot (1 + i)^8
\]
Simplificando, esto es:
\[
P \cdot (1 + r)^9 = C_1 \cdot \left( \frac{(1 + i)^9 - 1}{i} \right)
\]
5. **Sustituir los valores conocidos:**
- \( P = ? \)
- \( r = 0.15 \)
- \( C_1 = 55000 \)
- \( i = 0.20 \)
6. **Calcular el monto a depositar \( P \):**
Vamos a resolver la ecuación anterior para encontrar \( P \):
\[
P \cdot (1.15)^9 = 55000 \cdot \left( \frac{(1.20)^9 - 1}{0.20} \right)
\]
Calculando \( (1.15)^9 \approx 4.3238 \) y \( (1.20)^9 \approx 6.1917 \), sustituimos y calculamos:
\[
P \cdot 4.3238 = 55000 \cdot \left( \frac{6.1917 - 1}{0.20} \right)
\]
\[
P \cdot 4.3238 = 55000 \cdot 25.9585
\]
\[
P = \frac{55000 \cdot 25.9585}{4.3238}
\]
\[
P \approx 330,000
\]
Por lo tanto, el padre de familia debería depositar aproximadamente **$330,000** al inicio en el banco para asegurar que pueda cubrir todas las colegiaturas universitarias de su hijo bajo las condiciones dadas.
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