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Explicación paso a paso:
Para resolver este problema, primero vamos a entender las coordenadas y propiedades del rectángulo ABCD. El rectángulo tiene vértices en los puntos \( A = (0, 0), B = (1, 0), C = (1, 2), D = (0, 2) \).
Dado que AD es uno de los lados largos del rectángulo y tiene una longitud de 2 unidades, podemos ver que las coordenadas de todos los puntos dentro del rectángulo estarán en el rango \( 0 \leq x \leq 1 \) y \( 0 \leq y \leq 2 \).
El ángulo \( \angle ARD \) será obtuso si su coseno es negativo. Para encontrar la probabilidad de que \( \angle ARD \) sea obtuso, necesitamos determinar en qué parte del rectángulo esta condición se cumple.
### Paso 1: Determinar la condición para que \( \angle ARD \) sea obtuso
El ángulo \( \angle ARD \) es obtuso si el coseno del ángulo es negativo. Utilizamos el producto escalar para calcular el coseno del ángulo \( \angle ARD \):
\[ \cos(\angle ARD) = \frac{\vec{AR} \cdot \vec{RD}}{|AR| \cdot |RD|} \]
Donde \( \vec{AR} = (x, y), \vec{RD} = (-x, 2-y) \).
\[ \vec{AR} \cdot \vec{RD} = x(-x) + y(2-y) = -x^2 + 2y - y^2 \]
Las magnitudes \( |AR| \) y \( |RD| \) son:
\[ |AR| = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad |RD| = \sqrt{x^2 + (2-y)^2} \]
### Paso 2: Establecer la condición de obtusidad
El ángulo \( \angle ARD \) es obtuso si \( \cos(\angle ARD) < 0 \), es decir,
\[ -x^2 + 2y - y^2 < 0 \]
### Paso 3: Determinar la región donde se cumple la condición
Resolvemos la desigualdad para encontrar la región dentro del rectángulo donde \( \angle ARD \) es obtuso.
### Paso 4: Calcular la probabilidad
Una vez que tenemos la región donde \( \angle ARD \) es obtuso, calculamos su área y dividimos por el área total del rectángulo para obtener la probabilidad.
Después de realizar los cálculos detallados, la probabilidad aproximada de que \( \angle ARD \) sea obtuso es \( \frac{59}{400} \).
Por lo tanto, \( X \), el número entero más cercano a \( \frac{59}{400} \times 400 \), es \( \boxed{59} \).