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El número de términos que nos pide calcular se representa como "n" y de la progresión indicada hay que extraer los datos necesarios para poder aplicar la fórmula de suma de términos.
El primer dato a obtener es la diferencia entre términos consecutivos que se calcula fácilmente restando el segundo término del primero:
14 - 2 = 12
Y para asegurarnos de que se trata de una progresión aritmética restaremos el tercero del segundo y debe darnos el mismo resultado:
26 - 24 = 12
Así ya sabemos que lo que nos muestra el ejercicio es una PROGRESIÓN ARITMÉTICA (PA) donde cada nuevo término se obtiene sumando una cantidad fija al término anterior
Esa cantidad la llamamos diferencia y la representamos con la letra "d" que en este caso es 12.
La fórmula general para este tipo de progresiones dice:
Sustituiré los datos conocidos a₁ y d por sus valores y reduciré al máximo:
aₙ = 2 + (n-1) × 12
aₙ = 2 + 12n - 12
aₙ = 12n - 10
Y esta es la fórmula o término n-ésimo de esta progresión aritmética la cual nos vale para saber el valor de cualquier término según el número de orden "n" que ocupa en dicha progresión.
Con eso calculado usaremos la fórmula de suma de términos de una PA que dice:
[tex]\centering\\ {\Large{S_n=\dfrac{(a_1+a_n)\times n}{2}[/tex]
Y acudiendo al término n-ésimo anteriormente calculado, sustituiré aₙ por su valor en esa fórmula así como los demás datos que ya conozco y me quedará una ecuación de segundo grado con la incógnita "n" que nos interesa calcular:
[tex]\centering\\ {\Large{816\ =\dfrac{(2+12n-10)\times n}{2}\\ \\ 1632=(12n-8)\times n\\ \\ 1632=12n^2-8n\\\\12n^2-8n-1632=0\\ \\ ...\ simplificando\ al\ dividir\ todo\ entre\ 4\ ...\\ \\ 3n^2-2n-408=0[/tex]
Resuelvo con fórmula general para ecuaciones cuadráticas y tengo dos soluciones:
[tex]\centering\\ {\Large{n_1=\dfrac{2+70}{2} =36\\ \\ n_2=\dfrac{2-70}{2} =-34[/tex]
Y la que nos vale para resolver el ejercicio es la solución positiva así que la respuesta es que se necesitan 36 términos de esa PA para que su suma sea igual a 816
Te adjunto ahí abajo en captura de pantalla las operaciones realizadas con lenguaje LaTex que según el dispositivo estés usando (laptop para ver la página web o celular con app) quizá no se vean bien.
