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Sagot :
La altura máxima alcanzada por el balón es de 5 metros
Se trata de un problema de tiro parabólico que consiste en una composición de movimientos en dos dimensiones: uno horizontal sin aceleración, y el otro vertical con aceleración constante hacia abajo, debido a la fuerza de la gravedad. Ambos movimientos poseen velocidad inicial y son independientes uno del otro.
Determinamos la altura máxima
La altura máxima que alcanza un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} =\frac{( V_{0})^{2} \cdot sen^{2} \theta }{2 \cdot g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { H_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es la altura m\'axima del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large \textsf{Consideramos el valor de la gravedad } \bold {10 \ \frac{m}{s^{2} } }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{\left(20 \ \frac{m}{s}\right )^{2} \cdot sen^{2} (30^o) }{2 \cdot 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de sen de 30 grados es de }\bold{ \frac{1}{2} }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \frac{m^{2} }{ s^{2} } \cdot \left(\frac{1}{2}\right )^{2} }{ 20\ \frac{m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400\ \frac{m^{\not 2} }{\not s^{2} } \cdot \frac{1}{4} }{ 20\ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{400 \cdot \frac{1}{4} }{ 20 } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{ \frac{400}{4} }{ 20 } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { H_{max} =\frac{100 }{20 } \ m }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { H_{max} = Y_{max} = 5\ metros }}[/tex]
La altura máxima que alcanza el balón es de 5 metros
Aunque el enunciado no lo pida
Calculamos el tiempo de vuelo
La ecuación del tiempo de vuelo de un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { t_{V} =\frac{2 \ V _{0} \cdot sen \ \theta }{ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { t_{v} } \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el tiempo de vuelo del proyectil }[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{2 \cdot \left(20 \ \frac{m}{s} \right) \cdot sen (30^o) }{10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de sen de 30 grados es de }\bold{ \frac{1}{2} }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{40\ \frac{\not m}{\not s} \cdot \frac{1}{2} }{10 \ \frac{\not m}{s^{\not 2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{40 \cdot \frac{1}{2} }{10 } \ s }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{ \frac{40}{2} }{10 } \ s }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { t _{v} =\frac{20 }{10 } \ s }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { t _{v} =2 \ segundos }}[/tex]
El tiempo de vuelo del balón es de 2 segundos
Halamos el alcance horizontal o máximo
La ecuación de alcance máximo de un proyectil está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} =\frac{( V _{0})^{2} \cdot sen (2 \theta) }{ g } }}[/tex]
Donde
[tex]\bold { x_{max} } \ \ \ \ \textsf{Es el alcance m\'aximo del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { V_{0}} \ \ \ \ \ \ \textsf{ Es la velocidad inicial }[/tex]
[tex]\bold { \theta } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es el \'angulo de lanzamiento del proyectil}[/tex]
[tex]\bold { g } \ \ \ \ \ \ \ \ \ \textsf{Es la gravedad }[/tex]
[tex]\large \textsf{Reemplazamos y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ \left(20 \ \frac{m}{s}\right )^{2} \cdot sen (2 \ 30 ^o) }{ 10 \ \frac{m}{s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{400\ \frac{m^{\not2} }{\not s^{2}} \cdot sen (60 ^o) }{ 10 \ \frac{\not m}{\not s^{2} } } }}[/tex]
[tex]\large \textsf{El valor exacto de sen de 60 grados es de }\bold{ \frac{\sqrt{3} }{2} }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{400 \cdot \frac{\sqrt{3} }{2} }{ 10 } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{\not2 \cdot 200 \cdot \frac{\sqrt{3} }{\not2} }{ 10 } \ m }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =\frac{ 200 \cdot \sqrt{3} }{ 10 } \ m }}[/tex]
[tex]\textsf{Simplificando }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { x_{max} =20 \sqrt{3} \ metros }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { x_{max} =34.64 \ metros }}[/tex]
El alcance máximo del balón es de 34.64 metros
Se agrega gráfico que evidencia la trayectoria del movimiento
Como se puede apreciar se describe una parábola
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