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Para determinar el valor de la variable en la ecuación
\[ 3^4 \cdot 9^4 = 1^7 \cdot x - 5, \]
sigamos estos pasos:
1. **Simplificar la expresión en el lado izquierdo:**
Primero, recordemos que \(9\) se puede expresar como \(3^2\). Entonces:
\[ 9^4 = (3^2)^4 = 3^{2 \cdot 4} = 3^8. \]
Ahora sustituimos \(9^4\) en la ecuación:
\[ 3^4 \cdot 9^4 = 3^4 \cdot 3^8. \]
Usando la propiedad de los exponentes que dice que \(a^m \cdot a^n = a^{m+n}\), sumamos los exponentes:
\[ 3^4 \cdot 3^8 = 3^{4+8} = 3^{12}. \]
Entonces, el lado izquierdo de la ecuación se simplifica a:
\[ 3^{12}. \]
2. **Simplificar el lado derecho de la ecuación:**
\(1^7\) es simplemente 1, porque cualquier número elevado a cualquier potencia sigue siendo 1:
\[ 1^7 = 1. \]
Entonces, el lado derecho de la ecuación se simplifica a:
\[ 1 \cdot x - 5 = x - 5. \]
3. **Igualar y resolver la ecuación:**
La ecuación ahora es:
\[ 3^{12} = x - 5. \]
Primero, evaluamos \(3^{12}\). Utilizando una calculadora o tabla de potencias:
\[ 3^{12} = 531441. \]
Entonces:
\[ 531441 = x - 5. \]
Para encontrar \(x\), sumamos 5 a ambos lados de la ecuación:
\[ 531441 + 5 = x. \]
\[ x = 531446. \]
Por lo tanto, el valor de la variable \(x\) es \(531446\).