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Sagot :
La altura h del muchacho es de 1.7 metros
Se trata de un problema de razones trigonométricas en triángulos rectángulos.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Dado que una muchacha de determinada estatura observa los zapatos de su novio con un ángulo de depresión de 56.3° y el pelo del mismo con un ángulo de elevación de 11.3°:
Representamos la situación en dos triángulos rectángulos:
El ABD: en donde el lado AB representa la línea visual -que está por debajo de los ojos de la muchacha observadora- a los zapatos de su novio-, vistos con un ángulo de depresión de 56.3°, el lado DB que es una porción de la altura del novio y a la vez coincide con la estatura de la muchacha observadora, siendo el cateto opuesto al ángulo dado de este triángulo, y por último el lado AD que es la línea horizontal de visión al novio y también la distancia horizontal hasta este, en donde este otro cateto -es en este caso el adyacente-, -de la cual no conocemos su magnitud a la que llamamos distancia "x"- , la cual es una preincógnita
El ACD: en donde el lado AC representa la línea visual -que está por encima de los ojos de la muchacha observadora- hacia el pelo de su novio-, visto con un ángulo de elevación de 11.3°; el lado CD que es el cateto opuesto al ángulo dado en este triángulo y que equivale a la otra porción de la altura del novio, -de la cual no conocemos su dimensión y la llamamos distancia "y"- ; teniendo finalmente el lado AD el cual es el cateto adyacente al ángulo, y coincide con el cateto adyacente del primer triángulo, siendo la distancia "x" desde la muchacha hasta su novio
Donde se pide hallar la altura "h" del muchacho
Por tanto se determinará primero la distancia "x" -desde la muchacha hasta su novio-, y una vez conocida esa distancia calcularemos la distancia "y"
Donde hallada la distancia "y" en el segundo triángulo -siendo el cateto opuesto del mismo:
La sumatoria de los dos catetos opuestos a los ángulos dados de cada uno de los dos triángulos nos dará la altura "h" del muchacho
Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Se empleará la razón trigonométrica tangente en cada uno de los dos triángulos rectángulos para determinar las distancias "x" e "y"
En ABD
Hallamos x - distancia desde la muchacha hasta su novio-
Por ser ángulo alterno interno- que es homólogo- se traslada el ángulo de depresión de 56.3° al punto B para facilitar la situación
Por ello se han trazado dos proyecciones horizontales
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha = 56.3^o}[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(56.3^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(56.3^o) = \frac{ estatura\ muchacha }{ distancia \ x } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{estatura\ muchacha }{ tan(56.3^o) } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{1.5\ m }{ tan(56.3^o) } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ x = \frac{1.5\ m }{ 1.499436744741 } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia\ x = 1.0003 \ metros } }[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando a la d\'ecima }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { distancia \ x = 1 \ metro } }[/tex]
Luego la distancia desde la muchacha hasta su novio es de 1 metro
Conocido el valor de la preincógnita x
En ACD
Hallamos y -porción de la altura del muchacho-
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo β [tex]\bold{\beta =11.3^o }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(11.3^o) = \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(11.3^o) = \frac{ distancia \ y }{ distancia \ x } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ y = distancia \ x \cdot tan(11.3^o ) } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ y = 1 \ m \cdot tan(11.3^o ) } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ y = 1 \ m \cdot 0.199819717699 } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia\ y = 0.1998 \ metros } }[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando a la d\'ecima }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { distancia \ y = 0.2 \ metros } }[/tex]
La distancia y es de 0.2 metros- siendo una parte de la altura del muchacho-
Hallamos la altura h del muchacho
[tex]\boxed{\bold { Altura \ del \ Muchacho\ (h) = estatura\ muchacha + distancia \ y } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { Altura \ del \ Muchacho\ (h) = 1.5 \ m + 0.2 \ m } }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { Altura \ del \ Muchacho\ (h)= 1.7 \ metros } }[/tex]
La altura h del muchacho es de 1.7 metros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del ejercicio propuesto, donde se comprueba el resultado obtenido
Nota: Se agrega el enunciado completo para este problema
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