Respuesta:Claro que sí! Puedo ayudarte a resolver los problemas 6 y 7.
Problema 6:
Tenemos la ecuación:
(
−
4
)
(
6
)
=
0
(
4
)
(a−4)ab(6)=c0cc(4)
Necesitamos encontrar los valores de "a", "b" y "c" que satisfagan la ecuación.
Analicemos la ecuación:
El lado izquierdo de la ecuación está en base 6.
El lado derecho de la ecuación está en base 4.
Para comparar los dos lados, debemos convertir ambos a una misma base.
Convertimos el lado izquierdo a base 4:
(
−
4
)
(
6
)
=
(
−
4
)
⋅
⋅
⋅
6
(a−4)ab(6)=(a−4)⋅a⋅b⋅6
Convertimos 6 a base 4:
6
=
1
⋅
4
1
+
2
⋅
4
0
=
1
2
4
6=1⋅4
1
+2⋅4
0
=12
4
Entonces, el lado izquierdo en base 4 es:
(
−
4
)
⋅
⋅
⋅
1
2
4
(a−4)⋅a⋅b⋅12
4
Convertimos el lado derecho a base 6:
0
(
4
)
=
⋅
4
3
+
0
⋅
4
2
+
⋅
4
1
+
⋅
4
0
c0cc(4)=c⋅4
3
+0⋅4
2
+c⋅4
1
+c⋅4
0
Simplificando:
0
(
4
)
=
64
+
4
+
=
70
c0cc(4)=64c+4c+c=70c
Ahora, convertimos 70c a base 6:
70
=
1
⋅
6
2
+
5
⋅
6
1
+
4
⋅
6
0
=
15
4
6
70c=1⋅6
2
+5⋅6
1
+4⋅6
0
=154
6
Comparando los dos lados:
Tenemos que:
(
−
4
)
⋅
⋅
⋅
1
2
4
=
15
4
6
(a−4)⋅a⋅b⋅12
4
=154
6
Para que la igualdad se cumpla, debemos encontrar los valores de "a", "b" y "c" que hagan que el lado izquierdo sea igual a
15
4
6
154
6
.
Observamos que:
a debe ser mayor que 4 para que el lado izquierdo sea positivo.
b debe ser menor que 6 para que el lado izquierdo sea menor que
15
4
6
154
6
.
Probando con algunas opciones:
Si probamos con
=
5
a=5,
=
4
b=4, y
=
3
c=3, encontramos que:
(
5
−
4
)
⋅
5
⋅
4
⋅
1
2
4
=
1
⋅
5
⋅
4
⋅
1
2
4
=
24
0
4
=
15
4
6
(5−4)⋅5⋅4⋅12
4
=1⋅5⋅4⋅12
4
=240
4
=154
6
Por lo tanto, la solución es:
=
5
a=5
=
4
b=4
=
3
c=3
Problema 7:
Debemos encontrar las menores bases en las cuales los números 444 y 124 son iguales.
Analizando los números:
444 en base 10 es:
4
⋅
1
0
2
+
4
⋅
1
0
1
+
4
⋅
1
0
0
4⋅10
2
+4⋅10
1
+4⋅10
0
124 en base 10 es:
1
⋅
1
0
2
+
2
⋅
1
0
1
+
4
⋅
1
0
0
1⋅10
2
+2⋅10
1
+4⋅10
0
Para que los números sean iguales en una base diferente, debemos encontrar una base en la que los coeficientes de las potencias de la base sean iguales.
Probando con algunas bases:
Si probamos con base 3:
444 en base 3 es:
1
⋅
3
4
+
2
⋅
3
3
+
1
⋅
3
2
+
1
⋅
3
0
=
121
1
3
1⋅3
4
+2⋅3
3
+1⋅3
2
+1⋅3
0
=1211
3
124 en base 3 es:
1
⋅
3
3
+
2
⋅
3
1
+
1
⋅
3
0
=
102
1
3
1⋅3
3
+2⋅3
1
+1⋅3
0
=1021
3
No son iguales.
Si probamos con base 4:
444 en base 4 es:
3
⋅
4
3
+
1
⋅
4
2
+
0
⋅
4
1
+
0
⋅
4
0
=
310
0
4
3⋅4
3
+1⋅4
2
+0⋅4
1
+0⋅4
0
=3100
4
124 en base 4 es:
1
⋅
4
3
+
3
⋅
4
1
+
0
⋅
4
0
=
103
0
4
1⋅4
3
+3⋅4
1
+0⋅4
0
=1030
4
No son iguales.
Si probamos con base 5:
444 en base 5 es:
3
⋅
5
3
+
1
⋅
5
2
+
4
⋅
5
0
=
31
4
5
3⋅5
3
+1⋅5
2
+4⋅5
0
=314
5
124 en base 5 es:
1
⋅
5
3
+
0
⋅
5
2
+
4
⋅
5
1
+
4
⋅
5
0
=
14
4
5
1⋅5
3
+0⋅5
2
+4⋅5
1
+4⋅5
0
=144
5
No son iguales.
Si probamos con base 6:
444 en base 6 es:
2
⋅
6
3
+
1
⋅
6
2
+
0
⋅
6
1
+
0
⋅
6
0
=
210
0
6
2⋅6
3
+1⋅6
2
+0⋅6
1
+0⋅6
0
=2100
6
124 en base 6 es:
1
⋅
6
3
+
1
⋅
6
1
+
4
⋅
6
0
=
101
4
6
1⋅6
3
+1⋅6
1
+4⋅6
0
=1014
6
No son iguales.
Si probamos con base 7:
444 en base 7 es:
1
⋅
7
3
+
0
⋅
7
2
+
0
⋅
7
1
+
4
⋅
7
0
=
100
4
7
1⋅7
3
+0⋅7
2
+0⋅7
1
+4⋅7
0
=1004
7
124 en base 7 es:
1
⋅
7
3
+
0
⋅
7
2
+
4
⋅
7
0
=
100
4
7
1⋅7
3
+0⋅7
2
+4⋅7
0
=1004
7
¡Son iguales!
La menor base en la que 444 y 124 son iguales es la base 7. La suma de las bases es 7 + 7 = 14.
¡Espero que esta explicación te ayude! Si tienes alguna otra duda, no dudes en preguntar.
Explicación paso a paso: