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Sagot :
La operación que estás describiendo, \((1\ 3)(4) = (4)(1\ 3)\), es una verificación de la propiedad conmutativa en el contexto de las permutaciones.
Para resolverlo, veamos cada lado de la ecuación:
1. **Izquierda: \((1\ 3)(4)\)**
- \((1\ 3)\) es una permutación que intercambia los elementos 1 y 3.
- \((4)\) es una permutación que deja todos los elementos en su lugar porque solo afecta al elemento 4 (que no se mueve).
Cuando aplicamos \((1\ 3)(4)\) a cualquier conjunto, \((4)\) no afecta a los elementos 1 y 3, y \((1\ 3)\) solo intercambia 1 y 3. Así que esta permutación simplemente intercambia 1 y 3.
2. **Derecha: \((4)(1\ 3)\)**
- De manera similar, \((4)\) no afecta a los elementos 1 y 3.
- \((1\ 3)\) intercambia 1 y 3.
Al igual que en el caso anterior, esta permutación intercambia 1 y 3 sin afectar a los otros elementos.
Así, en ambos casos, la operación realiza exactamente el mismo intercambio de elementos, lo que demuestra que \((1\ 3)(4) = (4)(1\ 3)\).
En general, las permutaciones que actúan sobre conjuntos disjuntos (es decir, que no comparten elementos comunes) conmutan entre sí. Aquí, \((1\ 3)\) afecta a 1 y 3, mientras que \((4)\) afecta a 4, por lo que conmutan.
Para resolverlo, veamos cada lado de la ecuación:
1. **Izquierda: \((1\ 3)(4)\)**
- \((1\ 3)\) es una permutación que intercambia los elementos 1 y 3.
- \((4)\) es una permutación que deja todos los elementos en su lugar porque solo afecta al elemento 4 (que no se mueve).
Cuando aplicamos \((1\ 3)(4)\) a cualquier conjunto, \((4)\) no afecta a los elementos 1 y 3, y \((1\ 3)\) solo intercambia 1 y 3. Así que esta permutación simplemente intercambia 1 y 3.
2. **Derecha: \((4)(1\ 3)\)**
- De manera similar, \((4)\) no afecta a los elementos 1 y 3.
- \((1\ 3)\) intercambia 1 y 3.
Al igual que en el caso anterior, esta permutación intercambia 1 y 3 sin afectar a los otros elementos.
Así, en ambos casos, la operación realiza exactamente el mismo intercambio de elementos, lo que demuestra que \((1\ 3)(4) = (4)(1\ 3)\).
En general, las permutaciones que actúan sobre conjuntos disjuntos (es decir, que no comparten elementos comunes) conmutan entre sí. Aquí, \((1\ 3)\) afecta a 1 y 3, mientras que \((4)\) afecta a 4, por lo que conmutan.
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