Respuesta:
1) ¿Es nn múltiplo de 4?
Dado que n=15⋅72a+204n=15⋅72a+204, queremos determinar si nn es múltiplo de 4. Para ello, debemos verificar si n≡0(mod4)n≡0(mod4), es decir, si nn deja un residuo de 0 cuando se divide entre 4.
Primero, simplifiquemos nmod 4nmod4:
nmod 4=(15⋅72a+204)mod 4nmod4=(15⋅72a+204)mod4
Notamos que 15≡3(mod4)15≡3(mod4) y 72≡0(mod4)72≡0(mod4), por lo tanto 15⋅72a≡0(mod4)15⋅72a≡0(mod4). Además, 204≡0(mod4)204≡0(mod4).
Entonces,
n≡0+204≡0(mod4)n≡0+204≡0(mod4)
Esto significa que nn es múltiplo de 4. Por lo tanto, SıˊSıˊ, nn es múltiplo de 4.
2) Hallar tres valores de kk para que el resto de dividir 2k+32k+3 por 7 sea 2
Queremos encontrar valores de kk para los cuales (2k+3)mod 7=2(2k+3)mod7=2.
Esto significa que 2k+3≡2(mod7)2k+3≡2(mod7).
Restamos 3 de ambos lados:
2k≡−1≡6(mod7)2k≡−1≡6(mod7)
Para resolver 2k≡6(mod7)2k≡6(mod7), necesitamos encontrar kk tal que 2k2k dividido por 7 deje un residuo de 6.
Probamos algunos valores para kk:
Si k=2k=2:
2⋅2=42⋅2=4
4mod 7=44mod7=4
Si k=4k=4:
2⋅4=82⋅4=8
8mod 7=18mod7=1
Si k=6k=6:
2⋅6=122⋅6=12
12mod 7=512mod7=5
Para que 2k≡6(mod7)2k≡6(mod7), kk debe ser 2,9, y 162,9, y 16
