Respuesta:
Para determinar la ecuación de la recta tangente a la circunferencia \(x^2 + y^2 = 10\) en el punto \(P(-6, 8)\), debemos seguir estos pasos:
1. **Verificar si el punto \(P(-6, 8)\) está en la circunferencia:**
La ecuación de la circunferencia es:
\[
x^2 + y^2 = 10
\]
Sustituyendo \(x = -6\) y \(y = 8\) en la ecuación de la circunferencia:
\[
(-6)^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\]
Como \(100 \neq 10\), el punto \(P(-6, 8)\) no está en la circunferencia \(x^2 + y^2 = 10\). Por lo tanto, parece que ha habido un error en la formulación del problema. Vamos a asumir que la circunferencia tiene un radio diferente para que \(P\) esté en ella, o vamos a trabajar con una tangente a otra curva de radio correcto.
2. **Calcular la derivada implícita para encontrar la pendiente de la tangente a la circunferencia en un punto \(P(x_1, y_1)\):**
Dada la circunferencia \(x^2 + y^2 = 10\), derivamos implícitamente con respecto a \(x\):
\[
2x + 2y \frac{dy}{dx} = 0
\]
Resolviendo para \(\frac{dy}{dx}\):
\[
2y \frac{dy}{dx} = -2x \implies \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}
\]
3. **Encontrar la pendiente de la tangente en \(P(x_1, y_1)\):**
Sustituimos \(x = x_1\) y \(y = y_1\) en la pendiente:
\[
m = -\frac{x_1}{y_1}
\]
Asumiendo el punto \(P(-6, 8)\), la pendiente sería:
\[
m = -\frac{-6}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}
\]
4. **Utilizar la fórmula de la recta tangente en el punto \(P(x_1, y_1)\):**
La ecuación de la recta tangente en el punto \((x_1, y_1)\) con pendiente \(m\) es:
\[
y - y_1 = m(x - x_1)
\]
Sustituyendo \(P(-6, 8)\) y \(m = \frac{3}{4}\):
\[
y - 8 = \frac{3}{4}(x + 6)
\]
5. **Simplificar la ecuación de la recta:**
\[
y - 8 = \frac{3}{4}x + \frac{3}{4} \cdot 6
\]
\[
y - 8 = \frac{3}{4}x + \frac{18}{4}
\]
\[
y - 8 = \frac{3}{4}x + \frac{9}{2}
\]
\[
y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{2} + 8
\]
\[
y = \frac{3}{4}x + \frac{9}{2} + \frac{16}{2}
\]
\[
y = \frac{3}{4}x + \frac{25}{2}
\]
### Ecuación de la recta tangente:
\[
y = \frac{3}{4}x + \frac{25}{2}
\]
Esta es la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en el punto \(P(-6, 8)\), aunque es importante notar que \(P(-6, 8)\) no se encuentra en la circunferencia \(x^2 + y^2 = 10\) de acuerdo con la verificación inicial. Si el problema tiene una circunferencia diferente, por favor proporciona los detalles correctos.
