Vanezajazidn
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Demuestre que en todo triángulo la medida de una altura es menor que la semisuma de las
medidas de los lados adyacentes

Sagot :

ArbolAndreasidn

Sea un triángulo ABC, donde...

  • AB = c
  • BC = a
  • CA = b

También sea la altura h desde el vértice A hasta el lado BC.

Recuerda que la altura se puede expresar en términos del area S,

  • S = (1/2) × a × h

Despejamos...

  • h = 2S/a

También podemos expresar el área con la fórmula de Herón, donde s es el semiperímetro del triángulo,

  • S = √(s(s - a)(s - b)(s - c))

Donde s es igual a,

  • s = (a + b + c)/2

Recordemos que queremos demostrar que h es menor que la semisuma de los lados adyacentes b y c:

  • h < (b + c)/2

Ahora vamos a usar la inecuación geométrica (desigualdad del triángulo) que dice que cualquier triángulo con lados a, b y c, se cumple:

  • a + b > c
  • a + c > b
  • b + c > a

Reorganizamos estas igualdades para nuestra demostración,

  • a < b + c

Bien. Ahora tenemos:

  • h = 2S/a

No hace falta el valor exacto de S (sabiendo que es positivo) gracias a la cota de esta desigualdad,

  • a < b + c

Dividimos...

  • a/2 < (b + c)/2

Ahora bien. Observamos que la altura h de un triángulo siempre será menor que la longitud de cualquier lado, ya que la altura es una medida perpendicular desde un vértice al lado opuesto y nunca puede exceder la longitud de dicho lado.

Por lo cual...

  • h < a < (b + c)/2

R: Hemos demostrado que en cualquier triángulo, la medida de una altura es siempre menor que la semisuma de las medidas de los lados adyacentes.

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