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Sagot :
Respuesta:
Para resolver este problema, utilizaremos la ley de conservación de la energía mecánica, que establece que la energía total (suma de energía cinética y energía potencial) se conserva si no hay pérdidas por fricción u otras fuerzas no conservativas.
Dado que el plano inclinado es liso, podemos considerar que no hay fricción y por lo tanto la energía mecánica se conserva.
### Paso 1: Determinar la energía cinética final
El cuerpo llega al suelo con una velocidad de 20 m/s. La energía cinética final \( E_{\text{c}} \) se calcula como:
\[ E_{\text{c}} = \frac{1}{2}mv^2 \]
Donde:
- \( m \) es la masa del cuerpo, \( m = 40 \) kg.
- \( v \) es la velocidad final, \( v = 20 \) m/s.
Calculamos \( E_{\text{c}} \):
\[ E_{\text{c}} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot (20)^2 \]
\[ E_{\text{c}} = \frac{1}{2} \cdot 40 \cdot 400 \]
\[ E_{\text{c}} = 8000 \text{ J} \]
### Paso 2: Determinar la energía potencial inicial
Dado que la energía mecánica se conserva, la energía potencial inicial \( E_{\text{p, inicial}} \) debe ser igual a la energía cinética final.
\[ E_{\text{p, inicial}} = E_{\text{c}} \]
Entonces,
\[ E_{\text{p, inicial}} = 8000 \text{ J} \]
### Paso 3: Determinar la altura inicial del cuerpo
La energía potencial gravitatoria \( E_{\text{p}} \) depende de la altura \( h \) a la que se encuentra el cuerpo sobre el suelo. Se calcula como:
\[ E_{\text{p}} = mgh \]
Donde:
- \( m \) es la masa del cuerpo, \( m = 40 \) kg.
- \( g \) es la aceleración debido a la gravedad, \( g \approx 9.8 \) m/s\(^2\).
- \( h \) es la altura.
Como \( E_{\text{p, inicial}} = mgh \), podemos despejar \( h \):
\[ h = \frac{E_{\text{p, inicial}}}{mg} \]
Sustituimos los valores conocidos:
\[ h = \frac{8000}{40 \cdot 9.8} \]
\[ h = \frac{8000}{392} \]
\[ h \approx 20.41 \text{ metros} \]
Por lo tanto, la altura inicial del cuerpo sobre el suelo es aproximadamente \( \boxed{20.41 \text{ metros}} \).
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