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5. Un arquero suelta una flecha hacia el cielo, esta se desplaza siguiendo una trayectoria que cumple con la gráfica de
la función cuadrática:
f(x)=-14x2 +56x+50
donde f(x) indica la altura (en centímetros) alcanzada el balón al cabo de x segundos de transcurrido el lanzamiento.

a) ¿Cuánto tiempo tarda una pelota en alcanzar su altura máxima?
b) ¿Cuál es la altura máxima que alcanza cada pelota?

Sagot :

Respuesta:

Para determinar la altura máxima alcanzada por la flecha y el tiempo que tarda en alcanzarla, utilizaremos la función cuadrática dada:

\[ f(x) = -14x^2 + 56x + 50 \]

Esta función representa la altura \( f(x) \) en centímetros alcanzada por la flecha después de \( x \) segundos.

**a) Tiempo en alcanzar la altura máxima:**

La función \( f(x) \) es una parábola que abre hacia abajo (coeficiente de \( x^2 \) negativo), por lo tanto, la altura máxima corresponde al vértice de la parábola.

El tiempo \( x \) para alcanzar el vértice de una parábola dada por \( ax^2 + bx + c \) está dado por la fórmula:

\[ x = -\frac{b}{2a} \]

En nuestro caso, \( a = -14 \) y \( b = 56 \):

\[ x = -\frac{56}{2 \cdot (-14)} \]

\[ x = -\frac{56}{-28} \]

\[ x = 2 \]

Por lo tanto, la flecha tarda \( \boxed{2 \text{ segundos}} \) en alcanzar su altura máxima.

**b) Altura máxima alcanzada:**

Para encontrar la altura máxima, evaluamos la función \( f(x) \) en \( x = 2 \):

\[ f(2) = -14(2)^2 + 56 \cdot 2 + 50 \]

\[ f(2) = -14 \cdot 4 + 112 + 50 \]

\[ f(2) = -56 + 112 + 50 \]

\[ f(2) = 106 \]

Por lo tanto, la altura máxima alcanzada por la flecha es \( \boxed{106 \text{ centímetros}} \).