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Sagot :
La ecuación de la circunferencia solicitada está dada por:
Expresada en la Forma Ordinaria:
[tex]\large\boxed{ \bold { (x+2)^2+(y-5)^2= 36 }}[/tex]
Expresada en la Forma General:
[tex]\large\boxed{ \bold {x^{2}+ y^{2}+4x-10y-7= 0 }}[/tex]
Llevamos el problema al plano cartesiano
La distancia de un punto a una recta es la distancia más corta que existe desde ese punto a la recta
Por lo tanto se refiere a la longitud del segmento trazado desde el punto y que es perpendicular a la recta.
Luego la longitud del radio es el segmento de recta definido por el punto P de tangencia,-el cual pertenece a la circunferencia- y el centro de la misma. Siendo este segmento perpendicular a la recta tangente a la circunferencia
Calculamos el radio del círculo
Empleando la fórmula para calcular la distancia de un punto a una recta
La cual está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold {d = \left|\frac{A \ (x_{1}) + B \ ( y_{1} )+ C }{ \sqrt{A^{2}+B ^{2} } }\right | }}[/tex]
Donde la recta debe estar expresada en su forma general también llamada forma implícita
Siendo la forma general:
[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]
Y como los valores del punto [tex]\bold {( x_{1} ,y_{1} ) }[/tex] se toman las traslaciones horizontal h y vertical k (h, k) que representan el centro del círculo
Siendo la recta L:
[tex]\large\boxed {\bold { 4x -3y -7= 0 }}[/tex]
La cual ya está expresada en la forma general
Siendo el punto el centro dado:
[tex]\large\boxed {\bold { C(h,k) = C(-2,5) }}[/tex]
Reemplazamos los valores de los coeficientes de la recta dada y de las coordenadas del centro en la fórmula anterior para hallar el radio
Nótese que en la fórmula se busca el valor absoluto, dado que es una medida de longitud y no existen longitudes negativas
Por lo tanto
[tex]\large\boxed {\bold {r = \left|\frac{A \ (h) + B \ ( k)+ C }{ \sqrt{A^{2}+B ^{2} } }\right | }}[/tex]
El radio estará expresado en unidades
[tex]\boxed {\bold {r = \left|\frac{(4)\cdot (-2) + (-3) \cdot ( 5 )+(-7) }{ \sqrt{4^{2}+ (-3)^{2} } }\right | }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {r = \left|\frac{-8 -15-7 }{ \sqrt{16 +9 } }\right | }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {r = \left|\frac{-30 }{ \sqrt{25} }\right | }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {r = \left|\frac{-30 }{ 5 }\right | }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {r= \frac{30}{ 5 } }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { r =6 \ unidades }}[/tex]
El valor del radio es igual a 6 unidades
Conocido el valor del radio:
Determinamos la ecuación de la circunferencia solicitada
La ecuación ordinaria de la circunferencia con centro fuera del origen está dada por:
[tex]\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}[/tex]
Donde (h, k) son las las traslaciones horizontal h y vertical k que representan el centro del círculo. Y donde la distancia entre el centro y cada punto del círculo es igual a la longitud del radio.
La variable r representa el radio del círculo, h representa la distancia X desde el origen y k representa la distancia Y desde el origen
Determinamos la ecuación ordinaria de la circunferencia
Reemplazando en la ecuación:
[tex]\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}[/tex]
Los valores conocidos de (h, k) = C (-2,5) y el radio hallado de 6 unidades
[tex]\bold { (x-(-2))^2+(y-(5))^2=\left(6 \right) ^{2} }[/tex]
[tex]\bold { (x+2)^2+(y-5)^2= \left(6 \right) ^{2} }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { (x+2)^2+(y-5)^2= 36 }}[/tex]
La ecuación general de la circunferencia se obtiene de la siguiente forma:
Se parte de la ecuación ordinaria de la circunferencia que hallamos previamente
[tex]\large\boxed{ \bold { (x-h)^2+(y-k)^2=r^{2} }}[/tex]
Donde para obtener la ecuación general se deben desarrollar los binomios al cuadrado
Por lo tanto podemos reescribir la ecuación general de la circunferencia como:
[tex]\large\boxed{\bold {x^2+y^2+Ax+By+C=0}}[/tex]
Convertimos
[tex]\large\boxed{ \bold { (x+2)^2+(y-5)^2= 36 }}[/tex]
A la ecuación general de la circunferencia
[tex]\bold { x^{2} +4x +4+ y^{2} -10y + 25 = 36 }[/tex]
[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]
[tex]\bold { x^{2} +4x +4+ y^{2} -10y + 25 - 36=0 }[/tex]
[tex]\bold { x^{2} + y^{2}+4x-10y +4 +25 -36= 0 }[/tex]
[tex]\bold { x^{2} + y^{2}+4x-10y +29 -36= 0 }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold {x^{2}+ y^{2}+4x-10y-7= 0 }}[/tex]
La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto fijo llamado centro, quedando determinada por su centro y el radio
Se agrega gráfico como archivo adjunto
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