Respuesta:
**Solución**
Para resolver la ecuación [tex]$(3x^2 + x)^2 = 1$[/tex], podemos seguir los siguientes pasos:
**Paso 1: Desarrollar el cuadrado**
Usando la propiedad distributiva, desarrollamos el cuadrado del binomio dentro de los paréntesis:
[tex]$(3x^2 + x)^2 = (3x^2)^2 + 2(3x^2)(x) + (x)^2$[/tex]
Simplificando cada término, obtenemos:
[tex]$9x^4 + 6x^3 + x^2 = 1$[/tex]
**Paso 2: Trasladar todos los términos a un lado**
Trasladamos todos los términos a un lado de la ecuación, dejando solo la variable x en el otro lado:
[tex]$9x^4 + 6x^3 + x^2 - 1 = 0$[/tex]
**Paso 3: Factorizar la ecuación**
Buscamos un factor común que se pueda extraer de todos los términos. En este caso, todos los términos tienen un factor de x^2, por lo que podemos sacarlo como factor común:
[tex]$x^2(9x^2 + 6x + 1) = 0$[/tex]
**Paso 4: Resolver la ecuación cuadrática**
La ecuación dentro de los paréntesis es una ecuación cuadrática de la forma [tex]$ax^2 + bx + c = 0$[/tex], donde [tex]$a = 9$[/tex], [tex]$b = 6$[/tex] y [tex]$c = 1$[/tex]. Para resolverla, podemos usar la fórmula cuadrática:
[tex]x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac } }{2a}[/tex]
Sustituyendo los valores de a, b y c, obtenemos:
[tex]x= \frac{-6 \pm \sqrt{6^2 - 4(9)(1)}}{2(9)}[/tex]
Simplificando la expresión, encontramos:
[tex]x = \frac{-6 \pm \sqrt{0}}{18}[/tex]
Dado que la raíz cuadrada de cero es cero, podemos simplificar aún más la expresión:
[tex]x = \frac{-6 \pm 0}{18}[/tex]
Por lo tanto, las soluciones de la ecuación son:
[tex]x = -\frac{1}{3}[/tex]
**Respuesta**
Las soluciones de la ecuación [tex]$(3x^2 + x)^2 = 1$[/tex] son [tex]$x = \boxed{-\frac{1}{3}}$[/tex].
**Explicación adicional**
La ecuación [tex]$a^2 = b^2$[/tex] se puede reescribir como [tex]$(a - b)(a + b) = 0$[/tex]. En este caso, [tex]$a = 3x^2 + x$[/tex] y [tex]$b = \sqrt{1} = 1$[/tex], por lo que la ecuación también se puede resolver factorizando la diferencia de cuadrados:
[tex]$(3x^2 + x - 1)(3x^2 + x + 1) = 0$[/tex]
Esta expresión se puede factorizar aún más utilizando el método de la factorización por agrupación. Sin embargo, el método de la fórmula cuadrática es más directo en este caso.
