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Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
La altura del poste junto con el suelo -donde este se asienta- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del poste, el lado AC (b) que representa la longitud de la sombra proyectada por el poste hasta cierto punto en el suelo donde esta se extiende -donde se encuentra el observador- . Donde ambas magnitudes se conocen. Siendo la primera el cateto opuesto al ángulo buscado y la segunda el cateto adyacente al ángulo requerido del triángulo- Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la línea visual desde el punto donde culmina la sombra -donde se encuentra el observador- hasta la cima del poste, el cual es visto con un ángulo de elevación al sol α -la cual es nuestra incógnita-
Conocemos la altura del poste y la longitud de la sombra proyectada por dicho poste
Dado que la tangente de un ángulo se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Como sabemos la altura del poste -la cual es el cateto opuesto al ángulo buscado del triángulo- y conocemos la longitud de la sombra proyectada por el poste, donde en ese punto se ubica el observador -siendo este el cateto adyacente al ángulo requerido: determinaremos el valor del ángulo α de elevación al sol solicitado mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α
[tex]\boxed { \bold { tan (\alpha ) = \frac{cateto \ opuesto }{ cateto\ adyacente } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { tan (\alpha ) = \frac{altura \ del \ poste }{ sombra \ del \ poste } }}[/tex]
[tex]\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed { \bold { tan (\alpha ) = \frac{12 \not m }{ 8.2 \not m } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { tan (\alpha ) = \frac{12 }{ 8.2 } }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { tan (\alpha ) = 1.\overline{46341} }}[/tex]
[tex]\textsf{Aplicamos la inversa de la tangente para hallar el \'angulo}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\alpha =arctan\left(1.\overline{46341} \right ) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\alpha = 55.6539^o }}[/tex]
[tex]\textsf{Aproximando}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {\alpha =55.6^o }}[/tex]
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del ejercicio planteado, donde se comprueba el resultado obtenido
