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un alambre de longitud L se corta a x unidades de un extremo. Un trozo del alambre se dobla formando un cuadrado, y la otra parte se dobla para formar un circulo. expresa la suma de las areas en funcion de x
Si el alambre tiene una longitud L, después del corte tendremos dos trozos de alambre que podemos representar así:
Un trozo de alambre será: x (se corta a "x" unidades)
El otro trozo de alambre será: L-x (el total menos el primer trozo, ¿pillaste?)
Supongamos que el primer trozo (x) es el que usamos para hacer el cuadrado. Si el total mide "x", un lado del cuadrado medirá "x/4" ... y por tanto el área de ese cuadrado será:
A = (x/4)² = x²/16 unidades cuadradas.
Por otro lado tendremos que el alambre restante (L-x) será el utilizado para construir un círculo. Ateniendo a la fórmula de la longitud de la circunferencia y que será precisamente (L-x) tendremos que:
L-x = 2·π·r ... despejando "r"...
r = (L-x)/2·π
Ateniendo a la fórmula del círculo:
A círculo = π·r² ... sustituyo "r" ...
A círculo = π·[(L-x)/2·π]² = π·(L-x)²/4·π² ... simplificando...
A círculo = (L-x)²/4·π
... desarrollando el cuadrado de una diferencia en el numerador...
A círculo = (L²+x²-2·x·L)/4·π
Llegamos a la recta final. Suma de áreas en función de "x".
(x²/16)+[L²+x²-(2·x·L/4·π)] =
= (4πx² + 64πL² + 64πx² - 32xL) / 64π =
...reduciendo términos semejantes en el numerador...
(68πx² + 64πL² - 32xL) / 64π ... separando fracciones para simplificar más...
(17x²/16) + L² - (xL/2π)
Y ese sería para mí el resultado final, si no me he equivocado en alguna operación. Un ejercicio muy largo, la verdad.
Saludos.