Hola, aquí va la respuesta
Simplificación de radicales
La raíz de un numero la podemos definir como la solución de la siguiente ecuación:
[tex]x^{n} -a=0[/tex] n ∈ N
De modo que:
[tex]x^{n} =a[/tex] ⇔ [tex]x= \sqrt[n]{a}[/tex]
Para resolver el ejercicio vamos a tener en cuenta lo siguiente:
Cubo de un binomio
( a ± b)³= a³ ± 3a²b + 3ab² ± b³
Ya veremos como lo aplicamos:
[tex]M= \sqrt[3]{20+\sqrt{392} } +\sqrt[3]{20-\sqrt{392} }[/tex]
Debemos factorizar la raíz de 392
Sabemos que:
392= 14² × 2
Por lo tanto, tenemos:
[tex]M=\sqrt[3]{20+\sqrt{14^{2}*2 } } +\sqrt[3]{20-\sqrt{14^{2}*2 } }[/tex]
Aplicamos una propiedad llamada raíz de un producto:
[tex]\sqrt[n]{a*b} = \sqrt[n]{a} *\sqrt[n]{b}[/tex]
[tex]M= \sqrt[3]{20+(\sqrt{14^{2} }*\sqrt{2} } +\sqrt[3]{20-(\sqrt{14^{2} }*\sqrt{2} ) }[/tex]
[tex]M= \sqrt[3]{20+14\sqrt{2} } +\sqrt[3]{20-14\sqrt{2} }[/tex]
Lo que haremos será usar un pequeño artificio, el objetivo es eliminar la raíz cubica, la única forma que tenemos es que convirtamos todo el radicando en un cubo de binomio, lo cual lo podemos hacer:
Sabemos que:
[tex]20= 8 + 12[/tex]
[tex]14\sqrt{2} =12\sqrt{2} +2\sqrt{2}[/tex] (esto es valido porque tenemos suma de 2 terminos semejantes)
[tex]-14\sqrt{2} =-12\sqrt{2} -2\sqrt{2}[/tex]
Si reemplazamos todo, obtenemos:
[tex]M=\sqrt[3]{8+12\sqrt{2} +12+2\sqrt{2} } +\sqrt[3]{8 -12\sqrt{2} +12-2\sqrt{2} }[/tex]
Lo que hice fue aplicar la propiedad conmutativa, con el objetivo de que se parezca a un trinomio cuadrado perfecto (es decir es la expresión que se obtiene luego de resolver el cubo de un binomio)
Sacamos raíz cubica al primer y ultimo termino:
[tex]\sqrt[3]{8} = 2[/tex]
[tex]\sqrt[3]{2\sqrt{2} }= \sqrt[3]{\sqrt{2^{2} }*\sqrt{2} } = \sqrt[3]{\sqrt{2^{3} } }=\sqrt[6]{2^{3} } = \sqrt{2}[/tex]
Por lo tanto tenemos:
[tex]M= \sqrt[3]{(2+\sqrt{2} )^{3} } +\sqrt[3]{(2-\sqrt{2})^{3} }[/tex]
[tex]M= 2 + \sqrt{2} +2-\sqrt{2}[/tex]
[tex]M=4[/tex]
Respuesta: Opción D
Saludoss
