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GRAFICA DE FUNCIONES Dominio y recorrido El dominio de una función es el conjunto de todas las coordenadas x de los puntos de la gráfica de la función, y el recorrido es el conjunto de todas las coordenadas en el eje y. Los valores en el dominio usualmente están asociados con el eje horizontal (el eje x) y los valores del recorrido con el eje vertical (el eje y). Ejemplo para discusión: Determina el dominio y el recorrido de la función f cuya gráfica es: Ejercicio de práctica: Determina el dominio y el recorrido de la siguiente gráfica: Funciones crecientes, decrecientes y constantes Definición: Sea I in intervalo en el dominio de una función f. Entonces:1) f es creciente en el intervalo I si f(b)>f(a) siempre que b>a en I.2) f es decreciente en el intervalo I si f(b)<f(a) siempre b<a en I.3) f es constante en el intervalo I si f(b) = f(a) para todo a y b en I. Ejemplos: 1) La función f(x) = 2x + 4 es una función creciente en los números reales. 2) La función g(x) = -x3 es una función decreciente en los números reales. 3) La función h(x) = 2 es una función contante en los números reales. 4) La función f(x) = x2 es una función decreciente en el intervalo de menos infinito a cero y creciente en el intervalo de cero a infinito. Función constante Una función constante es una función de la forma f(x) = b. Su gráfica es una recta horizontal, su dominio el conjunto de los números reales y el recorrido el conjunto {b}. Ejemplo: En la función f(x) = 2, el dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es {2}. La pendiente (m) es cero. Función identidad La función identidad es la función de la forma f(x) = x. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. Función lineal Una función lineal es una función de la forma f(x) = mx + b, donde m es diferente de cero, m y b son números reales. La restricción m diferente de cero implica que la gráfica no es una recta horizontal. Tampoco su gráfica es una recta vertical. El dominio y el recorrido (rango) de una función lineal es el conjunto de los números reales. Recuerda que si la pendiente (m) es positiva la gráfica es creciente en los números reales y si la pendiente es negativa la gráfica es decreciente en los números reales. El intercepto en y es (0,b). Ejemplo: En la función f(x) = 2x + 4, la pendiente es 2, por tanto la gráfica es creciente en los números reales. El dominio y el recorrido es el conjunto de los números reales. El intercepto en y es (0,4). Ejercicio: Halla la pendiente, el intercepto en y, el intercepto en x, dominio y recorrido de f(x) = -3x + 6. Luego dibuja la gráfica. Nota: Una función de la forma f(x) = mx también es una función lineal pero su intercepto en y es cero. Su gráfica es una recta que siempre pasa por el origen. Función cuadrática Una función cuadrática es una función de la forma f(x) =ax2 + bx + c, con a diferente de cero, donde a,b y c son números reales. La gráfica de una función cuadrática es una parábola. Si a>0 entonces la parábola abre hacia arriba y si a<0 entonces la parábola abre hacia abajo. El dominio de una función cuadrática es el conjunto de los números reales. El vértice de la parábola se determina por la fórmula: f(x) = x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia arriba, pues a>0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es cero y los reales positivos. La gráfica de una función que luce como la de f(x) = x2 es cóncava hacia arriba. f(x) = -x2 es una función cuadrática cuya gráfica es una parábola que abre hacia abajo, pues a<0. El vértice es (0,0). El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el conjunto de los números reales negativos y el cero. La gráfica de una función que luce como f(x) = -x2 es cóncava hacia abajo. Nota: El eje de simetría es x = h, donde h es la abscisa del vértice de la parábola, paralelo al eje de y. Ejemplos para discusión: Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio, recorrido y eje de simetría. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica para cada una de las siguientes funciones:1) f(x) = x2 - 2x - 3 2) g(x) = -x2 - 2x + 3 Ejercicio de práctica: Sea f(x) = -x2 + 4x - 4. Halla el vértice, interceptos en x, intercepto en y, dominio y recorrido. Indica en que intervalo la función es creciente y decreciente. Dibuja la gráfica. Función valor absoluto La función es la función valor absoluto de x. El dominio es el conjunto de los números reales y el recorrido es el cero y los números reales positivos. Su gráfica es: Función dominio partido Las funciones de dominio partido son funciones que están formadas por diferentes
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