Hola
Para cualquier complejo, tenemos
z = x + i y
Si pasamos a coordenadas polares
z = r cos(a) + i r sen(a)
ó
z = r (cos(a) + i sen(a))
donde
r: distancia al origen (positiva ó nula)
a: ángulo medido en sentido antihorario desde el eje x positivo (entre 0 y 2 pi rad)
El teorema de De-Moivre nos indica que
(cos(u) + i sen(u) )^n = cos(n*u) + i sen(n*u)
Supongamos que la raíz de
z^2 - 8 = 0 (incógnita compleja)
esté en su forma polar
z = r (cos(a) + i sen(a))
Entonces
z^2 = r^2 (cos(a) + i sen(a))^2
Por De-Moivre
z^2 = r^2 (cos(2a) + i sen(2a))
ó
z^2 = r^2 cos(2a) + i r^2 sen(2a)
Según la ecuación original
z^2 = 8
es decir
r^2 cos(2a) + i r^2 sen(2a) = 8
Igualamos la parte real e imaginaria
1) r^2 cos(2a) = 8
2) r^2 sen(2a) = 0
El número r sólo se anula para el complejo z = 0
Eso significa que deducimos de 2)
sen(2a) = 0
Esto se da para
2a = 0
2a = 180°
2a = 360°
2a = 540°
2a = 720°
etc.
Obsérvese que consideramos hasta 720° porque tenemos ángulo doble
y la mitad de 720° nos da 360°
Deducimos posibles valores de a
a = 0°
a = 90°
a = 180°
a = 270°
a = 360°
etc..
Ahora, remplazamos en la ecuación 1)
y debemos tener resultados válidos para r (número positivo, nulo sólo para z=0)
1) r^2 cos(2a) = 0
a = 0°
r^2 cos(0°) = 8 ---> r^2 = 8 ---> r = √8
a = 90°
r^2 cos(180°) = 8 ---> -r^2 = 8-->r^2 = -8 ---->Valor de a NO VALIDO
a = 180°
r^2 cos(360°) = 8 ---> r^2 = 8 ---> r = √8
a = 270°
r^2 cos(540°) = 8 ---> -r^2 = 8-->r^2 = -8 ---->Valor de a NO VALIDO
a = 360°
r^2 cos(720°) = 8 ---> r^2 = 8 ---> r = √8
etc..
Los únicos valores válidos son
a = 0°
a = 180°
a = 360°
etc.
Los complejos solución son
z1 = √8 (cos(0°) + i sen(0°)) = √8(1 + i 0) = +√8
z2 = √8 (cos(180°) + i sen(180°)) = √8 (-1 + i0) = -√8
z3 = √8 (cos(360°) + i sen(360°)) = √8(1 + i 0) = +√8 = z1
======================================…
Observamos que sólo tenemos 2 valores reales +√8 y -√8,
la misma solución que en el caso de la solución real de
x^2 - 8 = 0
**************************************…
P.S.
En general, no se usa el teorema de De-Moivre,
si no que se usa la exponencial compleja para polares,
que satisface el teorema de De-Moivre
z = r (cos(a) + i sen(a)) = r e^(i * a)
Aquí "a" , como exponencial compleja, se mide exclusivamente en radianes
Saludos
