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Respuesta:
La respuesta es que el producto de las cifras del número original es **20**.
Explicación paso a paso:
Para resolver este problema, vamos a llamar \( ab \) al número original, donde \( a \) es la cifra de las decenas y \( b \) es la cifra de las unidades. Esto significa que el número original se puede escribir como \( 10a + b \).
El número formado por sus cifras en orden inverso es \( ba \), que se puede escribir como \( 10b + a \).
Según el problema, al sumar estos dos números, obtenemos once veces la diferencia entre estos números. Esto se traduce en la siguiente ecuación:
\[
(10a + b) + (10b + a) = 11 \times |(10a + b) - (10b + a)|
\]
Primero simplificamos la suma de los números:
\[
(10a + b) + (10b + a) = 11a + 11b
\]
Luego simplificamos la diferencia de los números:
\[
|(10a + b) - (10b + a)| = |9a - 9b| = 9|a - b|
\]
Ahora la ecuación queda:
\[
11a + 11b = 11 \times 9|a - b|
\]
Podemos simplificar esta ecuación dividiendo ambos lados entre 11:
\[
a + b = 9|a - b|
\]
A continuación, consideramos dos casos para el valor absoluto:
### Caso 1: \( a \geq b \)
\[
a + b = 9(a - b)
\]
Resolvemos esta ecuación:
\[
a + b = 9a - 9b
\]
\[
a + b + 9b = 9a
\]
\[
a + 10b = 9a
\]
\[
10b = 8a
\]
\[
5b = 4a
\]
\[
b = \frac{4a}{5}
\]
Para que \( b \) sea un dígito entero (0-9), \( a \) debe ser múltiplo de 5. Si \( a = 5 \), entonces \( b = 4 \).
Así, uno de los números es 54.
### Caso 2: \( b > a \)
\[
a + b = 9(b - a)
\]
Resolvemos esta ecuación:
\[
a + b = 9b - 9a
\]
\[
a + b + 9a = 9b
\]
\[
10a + b = 9b
\]
\[
10a = 8b
\]
\[
5a = 4b
\]
\[
a = \frac{4b}{5}
\]
Para que \( a \) sea un dígito entero (0-9), \( b \) debe ser múltiplo de 5. Si \( b = 5 \), entonces \( a = 4 \).
Así, el otro número es 45.
Finalmente, para encontrar el producto de las cifras del número original, tomamos uno de los casos (los dos son simétricos):
\[
a = 5 \quad y \quad b = 4 \quad o \quad a = 4 \quad y \quad b = 5
\]
El producto de las cifras \( a \) y \( b \) es:
\[
5 \times 4 = 20
\]
Por lo tanto, el producto de las cifras del número original es **20**.