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Respuesta:
Para evaluar la calidad de la leche en términos de la concentración de grasa y asegurarse de que cumpla con el estándar mínimo del 3.0%, podemos utilizar la distribución normal. Dado que los datos históricos nos proporcionan la media (\(\mu\)) y la desviación estándar (\(\sigma\)), podemos calcular la probabilidad de que una muestra de leche cumpla con el estándar mínimo.
### Datos
- Media (\(\mu\)): 4.1%
- Desviación estándar (\(\sigma\)): 0.38%
- Estándar mínimo: 3.0%
### Cálculo
Queremos encontrar la probabilidad de que la concentración de grasa sea al menos del 3.0%. Para esto, convertimos el valor en un puntaje Z y luego encontramos la probabilidad correspondiente.
El puntaje Z se calcula como:
\[ Z = \frac{X - \mu}{\sigma} \]
donde \( X \) es el valor que estamos evaluando (3.0%).
\[ Z = \frac{3.0 - 4.1}{0.38} \]
\[ Z = \frac{-1.1}{0.38} \]
\[ Z \approx -2.89 \]
Ahora, buscamos este valor Z en una tabla de la distribución normal estándar o usamos una calculadora de probabilidades para encontrar la probabilidad acumulada hasta este Z.
Dado que buscamos la probabilidad de que la concentración sea al menos 3.0%, necesitamos calcular \( P(Z > -2.89) \), que es \( 1 - P(Z \leq -2.89) \).
Usando una tabla de distribución normal estándar:
\[ P(Z \leq -2.89) \approx 0.0019 \]
Entonces:
\[ P(Z > -2.89) = 1 - 0.0019 = 0.9981 \]
### Resultado
La probabilidad de que una muestra de leche tenga una concentración de grasa de al menos el 3.0% es aproximadamente 0.9981, o 99.81%.
Esto indica que, basándose en los datos históricos, es altamente probable que la leche recibida cumpla con el estándar mínimo del 3.0% de concentración de grasa.