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Sagot :
La ecuación de la recta L2 -perpendicular a L1- y que pasa el punto P(3,1) expresada en la forma pendiente-intersección o forma explícita está dada por:
[tex]\huge\boxed {\bold { y = \frac{2}{3}x-1 }}[/tex]
Sea la recta L1:
[tex]\large\boxed {\bold { 3x+2y-4 = 0 }}[/tex]
Se solicita hallar una recta L2 -perpendicular a L1- y que pase por el punto P(3,1)
Reescribimos la ecuación en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
[tex]\boxed {\bold { 3x+2y-4 = 0 }}[/tex]
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { 2y = -3x+4 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{\not2}{\not2} y =- \frac{3}{2}x + \frac{4}{2} }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =-\frac{3}{2}x+2 }}[/tex]
Donde denotamos a la pendiente de la recta dada como [tex]\bold { m_{1} }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { m_{1} = -\frac{3}{2} }}[/tex]
La pendiente de la recta L1 es igual a -3/2
Determinamos la pendiente de una recta perpendicular
Denotaremos a la pendiente de la recta perpendicular [tex]\bold { m_{2} }[/tex]
La pendiente de una recta perpendicular debe ser inversa y cambiada de signo
En otras palabras debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original [tex]\bold { m_{1} }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ m_{1} } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ -\frac{3}{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m_{2} =- 1 \cdot- \frac{2}{3} }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} = \frac{2}{3} }}[/tex]
Concluyendo que cualquier recta perpendicular a la recta L1 debe tener una pendiente cuyo valor será m = 2/3
Hallamos la recta L2 -perpendicular a la recta L1- que pasa por el punto P(3,1)
Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta perpendicular solicitada
Cuya forma está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto P (3,1) tomaremos x1 = 3 e y1 = 1
Dado que la recta debe ser perpendicular a la dada su pendiente m será igual a 2/3
[tex]\bold{m_{2} = \frac{2}{3} }[/tex]
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { \frac{2}{3} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold {P \ (3,1) }[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (1) = \frac{2}{3} \cdot (x - (3) )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y-1 = \frac{2}{3} \cdot (x-3 )}}[/tex]
Reescribimos la ecuación de la recta L2 -perpendicular a L1- que pasa por el punto P(3,1) en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
[tex]\boxed {\bold { y-1 = \frac{2}{3} \cdot (x-3 )}}[/tex]
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y-1 = \frac{2}{3} x - \frac{6}{3} }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y-1 = \frac{2}{3} x -2 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = \frac{2}{3} x -2 +1 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y = \frac{2}{3}x-1 }}[/tex]
Habiendo hallado la recta L2 -perpendicular a L1- y que pasa por el punto P(3,1) en la forma pendiente-intersección también llamada explícita
Reescribimos la ecuación de la recta perpendicular solicitada en la forma general de la recta
También llamada forma implícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y = \frac{2}{3}x-1 }}[/tex]
[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{2}{3}x-1 -y=0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{2}{3} x -y -1 = 0 }}[/tex]
Para obtener una ecuación general o implícita sin fracciones:
Multiplicamos la ecuación por 3
[tex]\boxed {\bold { \frac{2}{3} x\cdot\ 3 -y\cdot 3 -1 \cdot 3 = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{2}{\not3} x\cdot\not 3 -y\cdot 3 -1 \cdot 3 = 0 }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 2x-3y-3= 0 }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta perpendicular solicitada en la forma general o implícita
Siendo las dos rectas perpendiculares
Se agrega gráfico como archivo adjunto
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