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Sagot :
La ecuación de la recta que pasa por los puntos dados: A(2,-4) y B(-2,1) expresada en la forma explícita que responde a la forma y = mx + b está dada por:
[tex]\huge\boxed {\bold { y =-\frac{5}{4}x - \frac{3}{2} }}[/tex]
Para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados debemos primero hallar la pendiente
Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas:
[tex]\bold { A \ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ B \ (x_{2},y_{2} )}[/tex]
Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta
Lo que resulta en
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
Determinamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos o pares ordenados dados: A(2,-4) y B(-2,1)
[tex]\bold { A \ (2,-4) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ B \ ( -2,1) \ ( x_{2},y_{2}) }[/tex]
Hallamos la pendiente
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ 1 - (-4) }{-2 - (2) } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{1+4 }{-2-2 } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ 5 }{-4 } }}[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m =- \frac{ 5 }{4 } }}[/tex]
La pendiente m es igual a -5/4
Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada
Cuya forma está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m = -5/4 es la pendiente. Como conocemos el punto A (2,-4) tomaremos x1 = 2 e y1 = -4
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold {m=-\frac{5}{4} } \\\large\textsf{y un punto dado } \bold { A \ (2,-4 )}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (-4) = -\frac{5}{4} \cdot (x- (2)) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y+4=-\frac{5}{4} \cdot (x-2) }}[/tex]
Reescribimos la ecuación de la recta en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y+4=-\frac{5}{4} \cdot (x-2) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y+4 =-\frac{5}{4}x +\frac{10}{4} }}[/tex]
[tex]\textsf{Simplificando }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y+4 =-\frac{5}{4}x +\frac{5}{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =-\frac{5}{4}x +\frac{5}{2} -4 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =-\frac{5}{4}x +\frac{5}{2} -4 \cdot \frac{2}{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =-\frac{5}{4}x +\frac{5}{2} -\frac{8}{2} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =-\frac{5}{4}x - \frac{3}{2} }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma explícita
Aunque el enunciado no lo pida
Reescribimos la ecuación en la forma general de la recta
También llamada forma implícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =-\frac{5}{4}x - \frac{3}{2} }}[/tex]
[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y +\frac{5}{4}x + \frac{3}{2}=0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{5}{4} x+ y+\frac{3}{2} = 0 }}[/tex]
Para obtener una ecuación general o implícita sin fracciones:
Multiplicamos la ecuación por 4
[tex]\boxed {\bold { \frac{5}{4} x\cdot\ 4 +y\cdot4 +\frac{3}{2} \cdot 4 = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{5}{\not 4} x\cdot\not 4 +y\cdot4 +\frac{12}{2} = 0 }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {5x +4y +6 = 0 }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma general o implícita
Se agrega gráfico como archivo adjunto
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