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Respuesta:
Para resolver la desigualdad cuadrática \(-x^2 + 4x - 7 < 0\), primero convertimos la desigualdad en una ecuación para encontrar los puntos críticos.
1. Resolver la ecuación cuadrática:
\(-x^2 + 4x - 7 = 0\)
Multiplicamos por \(-1\) para facilitar la resolución:
\(x^2 - 4x + 7 = 0\)
Usamos la fórmula general para resolver ecuaciones cuadráticas, \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\), donde \(a = 1\), \(b = -4\), y \(c = 7\):
\[
x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7}}{2 \cdot 1}
\]
\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 28}}{2}
\]
\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{-12}}{2}
\]
\[
x = \frac{4 \pm 2i\sqrt{3}}{2}
\]
\[
x = 2 \pm i\sqrt{3}
\]
Las soluciones son complejas, lo que significa que la parábola no cruza el eje \(x\).
2. Determinar la parábola:
Dado que el coeficiente de \(x^2\) en la ecuación original es negativo (\(-1\)), la parábola abre hacia abajo.
Para saber si la parábola está por debajo del eje \(x\), encontramos el vértice de la parábola. El vértice se encuentra en:
\[
x = -\frac{b}{2a}
\]
\[
x = -\frac{4}{2 \cdot (-1)} = 2
\]
Sustituyendo \(x = 2\) en la ecuación original para encontrar el valor de \(y\) en el vértice:
\[
y = - (2)^2 + 4 \cdot 2 - 7
\]
\[
y = -4 + 8 - 7 = -3
\]
El vértice es \((2, -3)\). Dado que el vértice está por debajo del eje \(x\) y la parábola abre hacia abajo, la parábola está por debajo del eje \(x\) en toda su extensión.
Conclusión:
La desigualdad \(-x^2 + 4x - 7 < 0\) es verdadera para todos los valores de \(x\).
espero te funcione