146 páginas
1. **Numeración normal:**
- **De 1 a 9:** 9 páginas usan 1 cifra cada una, totalizando 9 cifras.
- **De 10 a 99:** 90 páginas usan 2 cifras cada una, totalizando 180 cifras.
- **De 100 a 999:** 900 páginas usan 3 cifras cada una, totalizando 2700 cifras.
2. **Numeración con la página 50 como la primera página:**
- La numeración comienza en 50, así que la primera página es 50, la segunda 51, y así sucesivamente.
- **Hasta la página 99:** Las páginas 50 a 99 usan 2 cifras cada una. Hay 50 páginas en este rango, totalizando 100 cifras.
- **Desde la página 100 en adelante:** Cada página usa 3 cifras. La diferencia en el número de cifras es 51 cifras más en total que en la numeración normal.
Para hallar el número total de cifras de una numeración normal hasta una página final \(n\):
- **Hasta la página 99:** Usamos 9 (de 1 a 9) + 180 (de 10 a 99) = 189 cifras.
Vamos a sumar cifras para páginas más allá de 99. Llamemos \(x\) al número de páginas después de 99.
Las páginas después de 99 usan 3 cifras cada una, así que para \(x\) páginas se usan \(3x\) cifras.
Para obtener las cifras totales en la numeración normal hasta la página \(n\) (donde \(n > 99\)):
- **Total de cifras en numeración normal:** \(189 + 3(x)\).
En la numeración que empieza en 50, calculamos las cifras de manera similar, pero comenzando en 50:
- Las páginas del 50 al 99 usan 2 cifras cada una: 50 páginas × 2 cifras = 100 cifras.
- Las páginas después de 99 usan 3 cifras cada una.
Si el libro tiene \(n\) páginas, entonces las páginas después de 99 son \(n - 99\), y usaremos 3 cifras por cada una. Total de cifras usadas en la numeración modificada:
- **Total de cifras en la numeración modificada:** \(100 + 3(n - 99)\).
El libro usa 51 cifras más que la numeración normal:
\[ 100 + 3(n - 99) = 189 + 51 \]
Resolviendo:
\[ 100 + 3n - 297 = 240 \]
\[ 3n - 197 = 240 \]
\[ 3n = 437 \]
\[ n = \frac{437}{3} \approx 145.67 \]
Como \(n\) debe ser un número entero, redondeamos a \(n = 146\).
Entonces, el libro tiene 146 páginas.
