Respuesta:
Para resolver este problema, necesitamos determinar dónde cortar el alambre de 100 cm de longitud para que, al formar un cuadrado con una parte y un triángulo equilátero con la otra, la suma de sus áreas sea mínima.
Explicación paso a paso:
Paso 1: Definición de Variables
Supongamos que cortamos el alambre en dos partes, de longitud [tex]x[/tex] y [tex]100-x[/tex].
Sea [tex]x[/tex] la parte del alambre que se dobla para formar el cuadrado. Entonces, cada lado del cuadrado mide [tex]\frac{x}{4}[/tex].
El área del cuadrado [tex](A_{cuadrado}[/tex][tex])[/tex] es:
[tex]A_{cuadrado}= (\frac{x}{4})^{2} = \frac{x^{2} }{16}[/tex]
- Triángulo Equilátero: Sea [tex]100-x[/tex] la parte del alambre que se dobla para formar el triángulo equilátero. Entonces, cada lado del triángulo mide [tex]\frac{100-x}{3}[/tex].
El área del triángulo equilátero [tex](A_{triangulo}[/tex][tex])[/tex] es:
Paso 2: Función Objetivo
Queremos minimizar la suma de las áreas de las dos figuras:
[tex]A_{total}= A_{cuadrado} + A_{triangulo} \\A_{total}= \frac{x^{2} }{16} + \frac{\sqrt{3(100-x)^{2} } }{36}[/tex]
Paso 3: Derivada y Condición de Óptimo
Para minimizar [tex]A_{total}[/tex] calculamos su derivada respecto a [tex]x[/tex] y la igualamos a cero:
[tex]\frac{dA_{total} }{dx} = \frac{d}{dx} (\frac{x^{2} }{16} + \frac{\sqrt{3(100-x)^{2} } } {36})\\\\ \frac{dA_{total} }{dx} = \frac{1}{8} x-\frac{\sqrt{3} }{18} (100-x)\\[/tex]
Simplificando:
[tex]\frac{dA_{total} }{dx}= \frac{1}{8}x-\frac{\sqrt{3} }{18}(100)+\frac{\sqrt{3} }{18} x[/tex]
Igualando a cero para encontrar el mínimo:
[tex]\frac{1}{8} x+\frac{\sqrt{3} }{18} x=\frac{\sqrt{3} }{18} *100\\(\frac{1}{8} +\frac{\sqrt{3} }{18} x=\frac{100\sqrt{3} }{18} \\[/tex]
Multiplicamos ambos lados por el común denominador para simplificar:
[tex](\frac{9}{72} \frac{4\sqrt{3} }{72} )x=\frac{100\sqrt{3} }{18} \\(9+4\sqrt{3}) x=\frac{100*4\sqrt{3} }{72} \\(9+4\sqrt{3}) x=\frac{400\sqrt{3} }{72}[/tex]
Resolviendo para [tex]x[/tex]:
[tex]x= \frac{400\sqrt{3} }{72*(9+4\sqrt{3}) }[/tex]
Paso 4: Solución
Calculamos el valor numérico para [tex]x[/tex]:
[tex]x= 45.84 cm[/tex]
Conclusión
Para minimizar la suma de las áreas, el alambre debe cortarse a 45.84 cm para el cuadrado, dejando 54.16 cm para el triángulo equilátero. Esto dará la configuración óptima para minimizar la suma de las áreas de ambas figuras.
