La longitud del árbol inclinado es de aproximadamente 11.96 metros
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Donde para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno -también llamado como ley de senos-
Teorema del Seno:
El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.
Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,
Entonces se cumple la relación:
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
Representamos la situación en un triángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que representa la altura o longitud del árbol inclinado, el lado AC (b) que equivale a la distancia desde cierto punto en el suelo -ubicado en A- hasta la base del tronco del árbol inclinado. Teniendo finalmente el lado AB (c) que es la línea visual hasta la copa del árbol inclinado -desde el punto de referencia A- visto desde ese punto con un ángulo de elevación de 25°
Donde se pide hallar la longitud del árbol inclinado
Determinamos los valores de los ángulos para el triángulo ABC
Denotamos al ángulo de elevación con el cual se avista la copa del árbol inclinado, dado por enunciado de 25° como α
[tex]\large\boxed {\bold { \alpha = 25^o }}[/tex]
Hallamos el valor del ángulo C al cual denotamos como γ - para conocer la inclinación del árbol con respecto al suelo-
Si el árbol no hubiera crecido desviado formaría un ángulo de 90° con el plano del suelo, en donde para este problema al crecer el árbol con una desviación de 7° de la vertical, debemos sumar la inclinación de 7° indicada por enunciado con respecto a la línea vertical de 90°
Teniendo:
[tex]\large\boxed {\bold { \gamma = 90^o+ 7^o = 97^o }}[/tex]
Por tanto él árbol tiene una inclinación de 97° con respecto al suelo
Hallamos el valor del tercer ángulo B al cual denotamos como β
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°:
Planteamos:
[tex]\boxed {\bold { 180^o = 25^o+ 97^o + \beta }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \beta = 180^o - 25^o- 97^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { \beta = 58 ^o }}[/tex]
Determinamos la longitud del árbol inclinado empleando el teorema del seno
Hallando el valor del lado BC (a)
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(\alpha ) } = \frac{b}{sen(\beta )} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{b}{sen(B )} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{ a }{ sen(25^o ) } = \frac{ 24 \ m }{sen(58 ^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 24 \ m \cdot sen(25^o ) }{sen(58^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 24 \ m \cdot 0.422618261741 }{ 0.848048096156 } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 110.142838281784 }{ 0.848048096156 } \ m}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a\approx 11.960221 \ metros }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { a \approx 11.96 \ metros }}[/tex]
La longitud del árbol inclinado es de aproximadamente 11.96 metros
Se adjunta gráfico a escala para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas, donde se comprueba el resultado obtenido
