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Respuesta:
Para comprobar si la máquina destinada al llenado de envases de agua mineral ha sufrido un desajuste, se puede realizar una prueba de hipótesis sobre la media. Vamos a seguir estos pasos:
### Paso 1: Plantear las hipótesis
La hipótesis nula (\( H_0 \)) y la hipótesis alternativa (\( H_1 \)) son:
- \( H_0 \): \(\mu = 0.5\) litros (el contenido medio de los envases es de 0.5 litros)
- \( H_1 \): \(\mu \neq 0.5\) litros (el contenido medio de los envases no es de 0.5 litros)
### Paso 2: Nivel de significación
El nivel de significación (\(\alpha\)) es 0.05.
### Paso 3: Estadístico de prueba
Dado que la muestra es pequeña (\( n = 10 \)) y conocemos la desviación típica de la población (\( \sigma = 0.02 \) litros), utilizaremos una prueba t de Student para una muestra.
El estadístico de prueba t se calcula con la siguiente fórmula:
\[ t = \frac{\bar{x} - \mu_0}{\frac{\sigma}{\sqrt{n}}} \]
donde:
- \(\bar{x}\) = 0.508 litros (media muestral)
- \(\mu_0\) = 0.5 litros (media poblacional bajo \( H_0 \))
- \(\sigma\) = 0.02 litros (desviación típica poblacional)
- \(n\) = 10 (tamaño de la muestra)
### Paso 4: Calcular el valor de t
\[ t = \frac{0.508 - 0.5}{\frac{0.02}{\sqrt{10}}} \]
\[ t = \frac{0.008}{\frac{0.02}{3.162}} \]
\[ t = \frac{0.008}{0.00632} \]
\[ t \approx 1.265 \]
### Paso 5: Determinar el valor crítico y la región de rechazo
Para un nivel de significación de 0.05 y un contraste bilateral, necesitamos encontrar el valor crítico \( t_{c} \) de la distribución t de Student con \( n-1 = 9 \) grados de libertad.
Buscamos el valor crítico \( t \) en una tabla t de Student para \(\alpha/2 = 0.025\) y 9 grados de libertad. El valor crítico es aproximadamente \( t_{0.025,9} \approx 2.262 \).
### Paso 6: Comparar el valor de t calculado con el valor crítico
La región de rechazo para \( H_0 \) está en \( |t| > 2.262 \).
### Paso 7: Conclusión
Dado que el valor calculado de \( t = 1.265 \) no cae en la región de rechazo (\(|t| < 2.262\)), no rechazamos \( H_0 \).
### Conclusión final
Con un nivel de significación del 5%, no hay suficiente evidencia para rechazar la hipótesis nula. Por lo tanto, aceptamos \( H_0 \) y concluimos que el contenido medio de los envases de la máquina es de 0.5 litros. Esto sugiere que la máquina no ha sufrido un desajuste significativo.