Respuesta:
Incorrecta, incorrecta, correcta
Explicación paso a paso:
Análisis de las identidades trigonométricas
Entendiendo el problema:
Se nos presentan tres identidades trigonométricas: A, B y C. El objetivo es verificar si estas ecuaciones son verdaderas para cualquier valor de θ (theta).
Identidad A: Sin²θ * Cos²θ = 1
* Análisis: Esta identidad no es correcta. El producto del seno al cuadrado y el coseno al cuadrado de un ángulo nunca puede ser igual a 1, excepto en casos muy específicos (como cuando seno o coseno valen 1, lo cual solo ocurre en ángulos de 0° y 90°).
* Contraejemplo: Para cualquier ángulo θ distinto de 0° y 90°, el producto Sin²θ * Cos²θ siempre será un número entre 0 y 1.
Identidad B: Sec²θ = (Sin²θ + 1) / Cos²θ
* Análisis: Para analizar esta identidad, podemos utilizar la identidad pitagórica fundamental: Sin²θ + Cos²θ = 1.
* Desarrollo:
* Despejando Sin²θ de la identidad pitagórica: Sin²θ = 1 - Cos²θ.
* Sustituyendo Sin²θ en la identidad B: Sec²θ = ((1 - Cos²θ) + 1) / Cos²θ.
* Simplificando: Sec²θ = 2 / Cos²θ.
* Conclusión: Esta identidad tampoco es correcta. La secante al cuadrado es igual a 1/Cos²θ, no a 2/Cos²θ.
Identidad C: Csc²θ = Cot²θ + 1
* Análisis: Esta identidad es correcta y es una de las identidades pitagóricas fundamentales.
* Demostración:
* Por definición: Cscθ = 1/Sinθ y Cotθ = Cosθ/Sinθ.
* Sustituyendo en la identidad: (1/Sin²θ) = (Cos²θ/Sin²θ) + 1.
* Multiplicando todos los términos por Sin²θ: 1 = Cos²θ + Sin²θ.
* Esta última igualdad es la identidad pitagórica fundamental, por lo tanto, la identidad C es verdadera.
Resumen
* Identidad A: Incorrecta.
* Identidad B: Incorrecta.
* Identidad C: Correcta.
Conclusión:
De las tres identidades propuestas, solo la identidad C es válida para cualquier valor de θ.
Nota: Es importante recordar las identidades trigonométricas fundamentales y practicar su aplicación para resolver este tipo de problemas
