Explicación paso a paso:
Para demostrar que la transformación \( T: V \to \mathbb{C} \) definida por \( T(v) = \langle u_0, v \rangle \) para un vector fijo \( u_0 \in V \) no es lineal, debemos mostrar que \( T \) no cumple con las dos propiedades fundamentales de la linealidad:
1. **Adición**: \( T(v_1 + v_2) = T(v_1) + T(v_2) \)
2. **Homogeneidad**: \( T(\alpha v) = \alpha T(v) \)
Vamos a revisar cada una de estas propiedades.
### Adición
Sea \( v_1 \) y \( v_2 \) vectores en \( V \). Debemos verificar si:
\[ T(v_1 + v_2) = T(v_1) + T(v_2) \]
Calculamos \( T(v_1 + v_2) \):
\[ T(v_1 + v_2) = \langle u_0, v_1 + v_2 \rangle \]
Por la propiedad del producto interno (linealidad en el primer argumento), tenemos:
\[ \langle u_0, v_1 + v_2 \rangle = \langle u_0, v_1 \rangle + \langle u_0, v_2 \rangle \]
Entonces:
\[ T(v_1 + v_2) = \langle u_0, v_1 \rangle + \langle u_0, v_2 \rangle = T(v_1) + T(v_2) \]
Esta propiedad se cumple.
### Homogeneidad
Ahora, para cualquier escalar complejo \( \alpha \) y un vector \( v \in V \), debemos verificar si:
\[ T(\alpha v) = \alpha T(v) \]
Calculamos \( T(\alpha v) \):
\[ T(\alpha v) = \langle u_0, \alpha v \rangle \]
Por la propiedad del producto interno (linealidad en el segundo argumento), tenemos:
\[ \langle u_0, \alpha v \rangle = \alpha \langle u_0, v \rangle \]
Entonces:
\[ T(\alpha v) = \alpha \langle u_0, v \rangle = \alpha T(v) \]
Esta propiedad también se cumple.
### Conclusión
Ambas propiedades, adición y homogeneidad, se cumplen para la transformación \( T \). Por lo tanto, la transformación \( T \) sí es lineal.
Si la afirmación es que \( T \) no es lineal, hay un error en el enunciado, ya que la transformación \( T(v) = \langle u_0, v \rangle \) es, de hecho, lineal.
