Respuesta:
Para encontrar los valores de \( m \) que hacen que la recta \( y = mx + 4 \) interseque la parábola \( y = 3 + 2x - x^2 \) en dos puntos, toque en un punto o no la toque, utilizaremos el discriminante de la ecuación cuadrática resultante de igualar ambas ecuaciones.
1. **Igualamos las ecuaciones**:
\[
3 + 2x - x^2 = mx + 4
\]
Reorganizando, obtenemos:
\[
-x^2 + (2 - m)x - 1 = 0
\]
Multiplicando toda la ecuación por -1 para facilitar el uso del discriminante:
\[
x^2 - (m - 2)x + 1 = 0
\]
2. **Aplicamos el discriminante**:
El discriminante \( D \) de una ecuación cuadrática \( ax^2 + bx + c = 0 \) se calcula como:
\[
D = b^2 - 4ac
\]
En nuestra ecuación:
- \( a = 1 \)
- \( b = -(m - 2) = m - 2 \)
- \( c = 1 \)
Entonces, el discriminante es:
\[
D = (m - 2)^2 - 4(1)(1) = (m - 2)^2 - 4
\]
3. **Condiciones para el discriminante**:
- **Corte en dos puntos**: \( D > 0 \)
\[
(m - 2)^2 - 4 > 0
\]
\[
(m - 2)^2 > 4
\]
\[
|m - 2| > 2
\]
Esto se traduce en dos intervalos:
\[
m < 0 \quad \text{o} \quad m > 4
\]
- **Toque en un punto**: \( D = 0 \)
\[
(m - 2)^2 - 4 = 0
\]
\[
(m - 2)^2 = 4
\]
Esto da dos soluciones:
\[
m - 2 = 2 \quad \Rightarrow m = 4
\]
\[
m - 2 = -2 \quad \Rightarrow m = 0
\]
- **No toque a la gráfica**: \( D < 0 \)
\[
(m - 2)^2 - 4 < 0
\]
\[
(m - 2)^2 < 4
\]
Esto se traduce en:
\[
-2 < m - 2 < 2
\]
Sumando \( 2 \) a todos lados:
\[
0 < m < 4
\]
### Resumen de los valores de \( m \):
1. **Para que la recta corte la parábola en dos puntos**:
Ejemplos de valores: \( m < 0 \) (por ejemplo, \( m = -1 \)) o \( m > 4 \) (por ejemplo, \( m =5 \)).
2. **Para que la recta toque la parábola en un punto**:
Ejemplos de valores: \( m = 0 \) o \( m =4\).
3. **Para que la recta no toque la parábola en ningún punto**:
Ejemplos de valores: cualquier número entre \( m=0\) y \( m=4\), como por ejemplo, \( m=1, m=3, etc.\).
