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seleccione la ecuación general de la recta L1 qué pasa por el punto (2,6) si es perpendicular a la recta L2 qué pasa por los puntos (4,10) y (8,2)​

Seleccione La Ecuación General De La Recta L1 Qué Pasa Por El Punto 26 Si Es Perpendicular A La Recta L2 Qué Pasa Por Los Puntos 410 Y 82 class=

Sagot :

Arkytaidn

La ecuación de la recta L1 -perpendicular a L2- y que pasa por el punto P(2,6) expresada en la forma general está dada por:

[tex]\huge\boxed {\bold { x- 2y +10 = 0 }}[/tex]

Siendo correcta la primera opción de las presentadas

Debemos primero hallar la pendiente de la recta L2 que pasa por A(4,10) y B(8,2)

Donde denotamos a la pendiente de la recta L2 que pasa por estos puntos como [tex]\bold { m_{1} }[/tex]

Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas:

[tex]\bold { A \ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ B \ (x_{2},y_{2} )}[/tex]

Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta

Lo que resulta en

[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]

Determinamos la pendiente de la recta L2 que pasa por los puntos A(4,10) y B(8,2)

[tex]\bold { A\ (4,10) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ B \ ( 8,2) \ ( x_{2},y_{2}) }[/tex]

Hallamos la pendiente de la recta L2

[tex]\large\boxed{\bold {m_{1} = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]

[tex]\large\textsf{Reemplazamos }[/tex]

[tex]\boxed{\bold { m_{1} = \frac{ 2 - (10) }{8 - (4) } }}[/tex]

[tex]\boxed{\bold {m_{1} = \frac{2-10 }{8-4 } }}[/tex]

[tex]\boxed{\bold {m_{1} = \frac{ -8 }{4 } }}[/tex]

[tex]\boxed{\bold {m_{1} = -\frac{ 8 }{4 } }}[/tex]

[tex]\textsf{Dividiendo }[/tex]

[tex]\large\boxed{\bold {m_{1} =-2 }}[/tex]

La pendiente de L2 es igual a -2

Determinamos la pendiente de una recta perpendicular

Denotaremos a la pendiente de la recta perpendicular [tex]\bold { m_{2} }[/tex]

La pendiente de una recta perpendicular debe ser inversa y cambiada de signo

En otras palabras debe tener una pendiente que sea el recíproco negativo de la pendiente original [tex]\bold { m_{1} }[/tex]

[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ m_{1} } }}[/tex]

[tex]\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos}[/tex]

[tex]\boxed{\bold {m_{2} =- \frac{ 1 }{ -2 } }}[/tex]

[tex]\boxed{\bold {m_{2} = \frac{ - 1 }{ -2 } }}[/tex]

[tex]\large\boxed{\bold {m_{2} = \frac{1}{2} }}[/tex]

Concluyendo que cualquier recta perpendicular a la recta L2 debe tener una pendiente cuyo valor será m = 1/2

Hallamos la recta L1 -perpendicular a la recta L2- que pasa por el punto P(2,6)

Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta perpendicular solicitada

Cuya forma está dada por:

[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]

Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m es la pendiente. Como conocemos el punto P (2,6) tomaremos x1 = 2 e y1 = 6

Dado que la recta debe ser perpendicular a la dada su pendiente m será igual a 1/2    [tex]\bold{m_{2} = \frac{1}{2} }[/tex]

Por tanto:

[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold { \frac{1}{2} } \\\large\textsf{y el punto dado } \bold {P\ (2,6) }[/tex]

[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y - (6) = \frac{1}{2} \cdot (x - (2) )}}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y-6 = \frac{1}{2} \cdot (x-2 )}}[/tex]

Reescribimos la ecuación de la recta L1 -perpendicular a L2- que pasa por el punto P(2,6) en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen

También llamada forma principal o explícita

Que responde a la forma:

[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]

Donde m es la pendiente y b la intersección en Y

[tex]\boxed {\bold { y-6 = \frac{1}{2} \cdot (x-2 )}}[/tex]

Resolvemos para y

[tex]\boxed {\bold { y -6 = \frac{1}{2} x - \frac{2}{2} }}[/tex]

[tex]\textsf{Dividiendo }[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y -6 = \frac{1}{2} x-1 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y = \frac{1}{2} x-1 +6}}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { y = \frac{1}{2} x +5 }}[/tex]

Habiendo hallado la recta L1 -perpendicular a L2- y que pasa por el punto P(2,6) en la forma explícita

Reescribimos la ecuación de la recta perpendicular solicitada en la forma general de la recta

También llamada forma implícita

Que responde a la forma:

[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { y = \frac{1}{2} x +5 }}[/tex]

[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]

[tex]\boxed {\bold { \frac{1}{2} x +5 -y=0 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { \frac{1}{2} x-y +5 =0 }}[/tex]

Para obtener una ecuación general o implícita sin fracciones:

Multiplicamos la ecuación por 2

[tex]\boxed {\bold { \frac{1}{2} x\cdot 2 -y\cdot 2 +5 \cdot 2 = 0 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { \frac{1}{\not2} x\cdot\not 2 -y\cdot 2 +5 \cdot 2 = 0 }}[/tex]

[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { x- 2y +10 = 0 }}[/tex]

Habiendo hallado la ecuación de la recta perpendicular solicitada en la forma general o implícita

Siendo las dos rectas perpendiculares

Se agrega gráfico como archivo adjunto

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