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Sagot :
Explicación paso a paso:
Para hallar el ángulo que forma el lado AB y la mediana trazada desde el vértice B en el triángulo \( \triangle ABC \) con vértices \( A(-2, 3) \), \( B(-2, -2) \), y \( C(4, 7) \), seguimos estos pasos:
1. **Encontrar las coordenadas del punto medio del lado AC (punto D)**:
\[
D = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2} \right) = \left( \frac{-2 + 4}{2}, \frac{3 + 7}{2} \right) = (1, 5)
\]
2. **Encontrar las pendientes de las rectas AB y BD**:
- Pendiente de AB:
\[
m_{AB} = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{-2 - 3}{-2 - (-2)} = \frac{-5}{0} \quad (\text{pendiente indefinida, ya que es una línea vertical})
\]
- Pendiente de BD:
\[
m_{BD} = \frac{y_D - y_B}{x_D - x_B} = \frac{5 - (-2)}{1 - (-2)} = \frac{7}{3}
\]
3. **Calcular el ángulo entre las dos rectas usando la fórmula de la tangente del ángulo entre dos rectas**:
\[
\tan(\theta) = \left| \frac{m_{BD} - m_{AB}}{1 + m_{BD} \cdot m_{AB}} \right|
\]
Dado que \( m_{AB} \) es indefinida (línea vertical), el ángulo \( \theta \) entre una línea vertical y otra línea se puede obtener directamente sabiendo que una línea vertical forma un ángulo de 90° con el eje x. Por lo tanto, solo necesitamos considerar la pendiente de BD:
\[
\tan(\theta) = \left| \frac{\infty - \frac{7}{3}}{1 + \infty \cdot \frac{7}{3}} \right| = \left| \frac{\infty}{1 + \infty} \right|
\]
Dado que la tangente de un ángulo de 90° es indefinida, sabemos que:
\[
\theta = \arctan\left( \frac{7}{3} \right)
\]
Dado que una línea vertical forma un ángulo de 90° con cualquier línea inclinada, debemos considerar que el ángulo entre las dos líneas sería:
\[
\theta = 90° - \arctan\left( \frac{7}{3} \right)
\]
Para calcular el ángulo numéricamente:
\[
\arctan\left( \frac{7}{3} \right) \approx 66.8°
\]
Por lo tanto:
\[
\theta \approx 90° - 66.8° = 23.2°
\]
El ángulo que forma el lado AB y la mediana trazada desde el vértice B es aproximadamente 23.2°.
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