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Hola,por favor quiero que me expliquen las áreas sombreadas (Desde básico hasta avanzado,si es así quiero que expliquen paso por paso) Gracias :)

Sagot :

Respuesta:

Empecemos por entender qué es el área sombreada.

Básico

Definición:

  • Área: Es la medida de la superficie de una figura. Se mide en unidades cuadradas (por ejemplo, cm², m²).
  • Área sombreada: Es la porción de una figura que está resaltada o destacada para indicar que se debe calcular su área.

Ejemplo simple:

  • Rectángulo: Si tienes un rectángulo de 4 cm de ancho y 6 cm de largo, el área total sería [tex]4cm * 6cm=24cm^{2} .[/tex]
  • Área sombreada: Si se sombrea una parte del rectángulo, digamos un pequeño rectángulo de 2 cm por 3 cm en una esquina, el área sombreada sería [tex]2cm * 3cm=6cm^{2} .[/tex]

Intermedio

Áreas de figuras combinadas:

  • Figuras compuestas: A veces, la figura sombreada puede estar compuesta por más de una forma geométrica básica.
  • Ejemplo: Si una figura está formada por un rectángulo y un triángulo, calcular el área sombreada implica encontrar el área de cada componente y luego sumarlas o restarlas según corresponda.

Restar áreas:

  • Ejemplo: Si tienes un círculo grande con un círculo pequeño dentro de él y quieres hallar el área sombreada entre ambos, calculas el área del círculo grande y le restas el área del círculo pequeño.
  • Fórmula: Área sombreada = Área del círculo grande - Área del círculo pequeño.

Avanzado

Aplicación de integrales:

  • Integrales: En matemáticas avanzadas, especialmente en cálculo, se utilizan las integrales para encontrar áreas sombreadas bajo curvas.
  • Ejemplo: Para encontrar el área bajo la curva [tex]y=f(x)[/tex] desde [tex]x=a[/tex] hasta [tex]x=b[/tex], se utiliza la integral definida ∫[tex]^{a}b[/tex][tex]f(x)dx[/tex].

Área entre curvas:

  • Dos curvas: Si tienes dos funciones [tex]y=f(x) y = ( ) y=g(x)[/tex] y quieres encontrar el área entre ellas desde [tex]x=a[/tex] hasta [tex]x=b[/tex], calculas ∫[tex]^{a}b[/tex] [tex](f(x)−g(x))dx[/tex].
  • Ejemplo: Si [tex]f(x)=x 2 y ()=g(x)=x[/tex], y queremos el área entre estas curvas desde [tex]x=0[/tex] hasta [tex]x=1[/tex], se calcula ∫ [tex]0^{1}[/tex][tex](x2-x)dx[/tex]

Ejemplo Avanzado con Integrales:

Digamos que tenemos que encontrar el área sombreada entre las funciones [tex]y=x^{2}[/tex] y [tex]y=x+2[/tex] desde [tex]x=-1[/tex] hasta [tex]x=1.[/tex]

1. Encuentra los puntos de intersección:

[tex]x^{2} =x+2[/tex]

[tex]x^{2} -x-2=0[/tex]

Factoriza para encontrar los puntos de intersección:

[tex](x-2)(x+1)=0[/tex]

Así, [tex]x=2[/tex] y [tex]x=-1.[/tex]

2. Configura la integral:

∫[tex]-1^{1}[/tex][tex](x+2-x^{2} )dx[/tex]

3. Resuelve la integral:

∫[tex]-1^{1}[/tex][tex](x+2-x^{2} )dx=[/tex][tex]\left[\begin{array}{ccc}\frac{x}2^{2} {+2x-\frac{x}3^{3} {} } } \end{array}\right] -1^{1}[/tex]

4. Calcula el valor:

Para [tex]x=1:[/tex]

[tex](\frac{1^{2} }{2} +2(1)-\frac{1^{3} }{3})=(\frac{1}{2} +2-\frac{1}{3} =(\frac{3}{6}+\frac{12}{6}-\frac{2}{6} )=\frac{13}{6}[/tex]

Para [tex]=-1x=-1:[/tex]

[tex](\frac{(-1)^{2} } {2} +2(-1)-\frac{(-1)^{3} } {3})=(\frac{1}{2} -2+\frac{1}{3})=(\frac{3}{6}-\frac{12}{6} +\frac{2}{6} )=-\frac{7}{6}[/tex]

Resta los valores:

[tex](\frac{13}{6} -(-\frac{7}{6} ))=\frac{13}{6} +\frac{7}{6} =\frac{20}{6} =\frac{10}{3}[/tex]

R: El área sombreada entre [tex]x=-1[/tex] y [tex] = 1 x=1[/tex] es [tex]\frac{10}{3}[/tex] unidades cuadradas.