Respuesta:
Para comprobar que los puntos \(A(-2, -1)\), \(B(-4, 3)\), \(C(3, 5)\) y \(D(5, 11)\) forman un paralelogramo y determinar la medida del ángulo obtuso que forman sus diagonales, seguimos estos pasos:
1. **Comprobar que los puntos forman un paralelogramo:**
- Los vectores opuestos deben ser iguales.
- Calculamos los vectores \( \overrightarrow{AB} \), \( \overrightarrow{BC} \), \( \overrightarrow{CD} \), \( \overrightarrow{DA} \).
\[
\overrightarrow{AB} = B - A = (-4 - (-2), 3 - (-1)) = (-2, 4)
\]
\[
\overrightarrow{BC} = C - B = (3 - (-4), 5 - 3) = (7, 2)
\]
\[
\overrightarrow{CD} = D - C = (5 - 3, 11 - 5) = (2, 6)
\]
\[
\overrightarrow{DA} = A - D = (-2 - 5, -1 - 11) = (-7, -12)
\]
Ahora, verificamos si los vectores opuestos son iguales.
\[
\overrightarrow{AB} = \overrightarrow{CD} \quad \text{(No son iguales)}
\]
\[
\overrightarrow{BC} = \overrightarrow{DA} \quad \text{(No son iguales)}
\]
2. **Calcular las diagonales:**
- Calculamos los vectores de las diagonales \( \overrightarrow{AC} \) y \( \overrightarrow{BD} \).
\[
\overrightarrow{AC} = C - A = (3 - (-2), 5 - (-1)) = (5, 6)
\]
\[
\overrightarrow{BD} = D - B = (5 - (-4), 11 - 3) = (9, 8)
\]
3. **Calcular el ángulo entre las diagonales:**
- El ángulo entre dos vectores se puede calcular usando la fórmula del producto punto.
\[
\cos(\theta) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{\|\overrightarrow{AC}\|\|\overrightarrow{BD}\|}
\]
\[
\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD} = (5)(9) + (6)(8) = 45 + 48 = 93
\]
\[
\|\overrightarrow{AC}\| = \sqrt{5^2 + 6^2} = \sqrt{25 + 36} = \sqrt{61}
\]
\[
\|\overrightarrow{BD}\| = \sqrt{9^2 + 8^2} = \sqrt{81 + 64} = \sqrt{145}
\]
\[
\cos(\theta) = \frac{93}{\sqrt{61} \cdot \sqrt{145}} = \frac{93}{\sqrt{8845}}
\]
\[
\theta = \cos^{-1} \left( \frac{93}{\sqrt{8845}} \right)
\]
4. **Determinar si el ángulo es obtuso o agudo:**
- Si \( \theta > 90^\circ \), es obtuso. Si \( \theta < 90^\circ \), es agudo.
Nota: Dado que la pregunta proporciona los ángulos 117° y 36°, y hemos verificado que los puntos no forman un paralelogramo, es probable que haya un error en los puntos dados o en la interpretación del problema. Asegúrate de verificar los puntos y las condiciones del problema.