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Respuesta:
Para determinar si existe una base de R^3 que contenga a los vectores (1, -1, 2) y (2, -2, 4), debemos analizar si estos vectores son linealmente independientes.
Dos vectores son linealmente independientes si uno de ellos no se puede expresar como un múltiplo escalar del otro. Es decir, si no existe un número real k tal que uno de los vectores sea igual a k veces el otro.
Analicemos los vectores (1, -1, 2) y (2, -2, 4):
Supongamos que existe un número real k tal que:
(2, -2, 4) = k(1, -1, 2)
Desarrollando esta igualdad, tenemos:
2 = k
-2 = -k
4 = 2k
Resolviendo este sistema de ecuaciones, obtenemos:
k = 2
Por lo tanto, el vector (2, -2, 4) sí se puede expresar como un múltiplo escalar del vector (1, -1, 2), concretamente como 2(1, -1, 2).
Esto significa que los vectores (1, -1, 2) y (2, -2, 4) son linealmente dependientes y, por lo tanto, no pueden formar una base de R^3.
En conclusión, no existe una base de R^3 que contenga a los vectores (1, -1, 2) y (2, -2, 4).
Explicación paso a paso: