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Sagot :
La distancia entre los puntos A y C es de aproximadamente 219.1 pies
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Donde para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-
Teorema del Seno:
El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.
Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,
Entonces se cumple la relación:
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
Representamos la situación en un triángulo ABC: el cual está conformado por el lado AB (c) que representa la distancia entre los dos puntos A y B escogidos por la topógrafa en un lado del río, donde la distancia entre ambos puntos se conoce. Situándose luego dicha topógrafa en un punto de referencia C en el lado opuesto del río, determinando desde C que los ángulos ∠BAC y ∠ABC -ubicados en los puntos A y B tienen valores de 82° y de 52° respectivamente. Teniendo finalmente los lados AC (b) y BC (a) que equivalen a las dos distancias desde el punto de referencia C -donde se ubicó la topógrafa- hasta los puntos A y B al otro lado del río.
Ver gráfico adjunto
En donde se pide calcular:
La distancia entre los puntos A y C
Denotamos a los ángulos dados por enunciado de medición de la topógrafa -que se ubicó en el punto C- hasta el punto A de 82° y hasta el punto B de 52° como α y β respectivamente
Hallamos el valor del tercer ángulo C -donde se encuentra el punto C de referencia elegido - al cual denotamos como γ
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°:
Planteamos:
[tex]\boxed {\bold { 180^o = 82^o+ 52^o+ \gamma}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\gamma = 180^o -82^o- 52^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {\gamma= 46^o }}[/tex]
El valor del ángulo C (γ) es de 46°- el cual es el ángulo comprendido desde el punto C de referencia a un lado del río hasta los puntos A y B ubicados en la orilla opuesta
Determinamos la distancia entre los puntos A y C:
Hallando el valor del lado b (lado AC)
[tex]\bold{\overline{AC} = b}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{b}{ sen (52^o ) } = \frac{ 200 \ pies }{sen(46^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 200 \ pies \cdot sen(52^o ) }{\ sen(46^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 200 \ pies \cdot 0.107536077880 }{0719339800339 } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 157.6021507214 }{ 0719339800339 }\ pies}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b \approx 219.09 \ pies }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { b \approx 219.10 \ pies }}[/tex]
La distancia entre los puntos A y C es de aproximadamente 219.1 pies
Aunque el enunciado no lo pida
Determinamos la distancia entre los puntos B y C:
Hallando el valor del lado a (lado BC)
[tex]\bold{\overline{BC} = a}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen (82^o ) } = \frac{ 200 \ pies }{sen(46^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 200 \ pies \cdot sen(82^o ) }{\ sen(46^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 200 \ pies \cdot 0.990268068742 }{0719339800339 } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 198.0536137484 }{ 0719339800339 }\ pies}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a \approx 275.3269 \ pies }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { a \approx 275.30 \ pies }}[/tex]
La distancia entre los puntos B y C es de aproximadamente 275.3 pies
Se adjunta gráfico a escala para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteados, donde se comprueba el resultado obtenido
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