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Para determinar la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera que la suma de sus distancias a los puntos (4,5) y (10,5) es siempre igual a 6 unidades, seguimos los siguientes pasos:
1. Denotamos un punto genérico en el plano como (x, y).
2. Calculamos la distancia del punto genérico a los puntos (4,5) y (10,5) utilizando la fórmula de la distancia entre dos puntos en el plano:
- Distancia al punto (4,5): d1 = sqrt((x-4)^2 + (y-5)^2)
- Distancia al punto (10,5): d2 = sqrt((x-10)^2 + (y-5)^2)
3. La ecuación que describe la condición d1 + d2 = 6 es:
sqrt((x-4)^2 + (y-5)^2) + sqrt((x-10)^2 + (y-5)^2) = 6
4. Elevamos al cuadrado ambos lados de la ecuación anterior para eliminar las raíces cuadradas y simplificar:
((x-4)^2 + (y-5)^2) + 2*sqrt((x-4)^2 + (y-5)^2)*sqrt((x-10)^2 + (y-5)^2) + ((x-10)^2 + (y-5)^2) = 36
5. Despejamos la ecuación resultante para obtener la ecuación del lugar geométrico de los puntos que cumplen la condición dada.
En resumen, la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano que se mueven de tal manera que la suma de sus distancias.