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Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Donde para resolver triángulos no rectángulos como el de este problema, emplearemos el teorema del seno- también llamado como ley de senos-
El teorema del seno establece una relación de proporcionalidad existente entre las longitudes de los lados de un triángulo cualquiera con los senos de sus ángulos interiores opuestos.
Dado un triángulo ABC cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores α, β y γ, siendo estos respectivamente opuestos a los lados,
Entonces se cumple la relación:
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha )} = \frac{b}{ sen(\beta ) } = \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
Se tiene un triángulo no rectángulo ABC: del cual se conocen la medida de uno de sus lados -con una magnitud de 24 unidades- al que llamamos c, y el valor de dos de sus ángulos -de 68° y de 32°- a los que llamamos A y B respectivamente
[tex]\bold{c = 24 \ u}[/tex]
[tex]\bold{A = 68^o}[/tex]
[tex]\bold{B = 32^o}[/tex]
Como la suma de los ángulos interiores de un triángulo es igual a dos rectos, es decir a 180°:
Planteamos:
[tex]\boxed {\bold { 180^o = A+ B+ C}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 180^o = 68^o+ 32^o+C }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {C = 180^o -68^o- 32^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {C= 80^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{a}{ sen( \alpha ) }= \frac{c}{sen(\gamma )} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen(A ) } = \frac{c}{sen(C)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{a}{ sen (68 ^o ) } = \frac{ 24 \ u }{sen(80^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 24 \ u \cdot sen(68 ^o ) }{\ sen(80^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 24 \ u \cdot 0.927183854567 }{0.984807753012} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a = \frac{ 22.252412509608 }{ 0.984807753012 }\ u}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { a \approx 22.59569 \ u }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { a \approx 22.60 \ unidades }}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { \frac{b}{ sen( \beta ) }= \frac{c}{sen(\gamma)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{b}{ sen(B ) } = \frac{c}{sen(C)} }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { \frac{b }{ sen (32 ^o ) } = \frac{ 24 \ u }{sen(80^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 24 \ u \cdot sen(32 ^o ) }{\ sen(80^o) } }}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{24 \ u \cdot 0.529919264233 }{0.984807753012 } } }[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b = \frac{ 12.718062341592 }{ 0.984807753012 }\ u}}[/tex]
[tex]\boxed { \bold { b \approx 12.91425 \ u }}[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando}[/tex]
[tex]\large\boxed { \bold { b \approx 12.90 \ unidades }}[/tex]
Se agrega gráfico a escala para comprender las relaciones entre los ángulos y sus lados planteadas, donde se comprueba el resultado obtenido
