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Explicación paso a paso:
En una progresión aritmética el primer término es "a", los términos subsecuentes se obtienen al sumar una constante k.
[tex] P_{1} = a [/tex]
[tex] P_{2} = a + k [/tex]
[tex] P_{3} = a + 2k [/tex]
...
[tex] P_{n} = a + k(n - 1) [/tex]
Donde:
$P_{n}$ el el término n de la progresión aritmética.
$a$ es el primer término de la sucesión.
$k$ es la constante o razón de la progresión aritmética.
El cuarto término $P_{4}$ de la sucesión es 19, entonces:
a + k(4 - 1) = 19
a + k(3) = 19
a + 3k = 19
Por ahora, no es posible determinar el valor de las constantes $a$ y $k$, por lo tanto, esta ecuación se queda pendiente, pero será útil más adelante.
El noveno término $P_{9}$ de la sucesión es 46, entonces:
a + k(9 - 1) = 46
a + k(8) = 46
a + 8k = 46
Se puede formar un sistema de ecuaciones 2 por 2 con las ecuaciones obtenidas cuyas variables serán a y k:
a + 3k = 19
a + 8k = 46
La solución del sistema de ecuaciones es:
a = $\frac{14}{5}$ = 2.8
k = $\frac{27}{5}$ = 5.4
Sustituyendo estos valores en la expresión general:
[tex] P_{n} = a + k(n - 1) [/tex]
[tex] P_{n} = $\frac{14}{5}$ + $\frac{27}{5}$(n - 1) [/tex]
[tex] P_{n} = 2.8 + 5.4(n - 1) [/tex]
Esta ecuación puede simplificarse, si se desea:
[tex] P_{n} = 2.8 + 5.4n - 5.4 [/tex]
[tex] P_{n} = 5.4n - 2.6 [/tex]
Sustituyendo con $n = 1, 2, 3, 4, ...$ se obtiene:
[tex] P_{1} = 2.8 [/tex]
[tex] P_{2} = 8.2 [/tex]
[tex] P_{3} = 13.6 [/tex]
[tex] P_{4} = 19 [/tex]
[tex] P_{5} = 24.4 [/tex]
[tex] P_{6} = 29.8 [/tex]
[tex] P_{7} = 35.2 [/tex]
[tex] P_{8} = 40.6 [/tex]
[tex] P_{9} = 46 [/tex]
...
...
...
Como se observa, la progresión aritmética obtenida cumple con las condiciones del problema.