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Enunciado:
Un hombre se encuentra frente a un edificio de 70 metros de altura y observa su parte superior con un ángulo de elevación de 40°. Determine a que distancia se encuentra el observador de la base del edificio.
Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
La altura del edificio junto con el suelo -donde este se asienta- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado BC (a) que equivale a la altura del edificio, el lado AC (b) que representa la distancia horizontal desde cierto punto en el suelo -ubicado en A, donde se encuentra el observador- hasta la base del edificio y el lado AB (c) que es la línea visual desde ese punto en el suelo, -donde se halla el observador- hasta la cima del edificio, la cual es vista con un ángulo de elevación de 40°
Conocemos la altura del edificio y de un ángulo de elevación de 40°
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Como sabemos el valor del cateto opuesto al ángulo dado -que es la altura del edificio, y conocemos un ángulo de elevación de 40° y debemos hallar la distancia horizontal desde cierto punto en el suelo - donde se ubica el observador- hasta la base del edificio -la cual es el cateto adyacente al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha =40^o}[/tex]
Planteamos
[tex]\boxed{\bold { tan(40^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(40^o) = \frac{ altura \ del \ edificio }{ distancia \ al \ edificio } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ edificio = \frac{ altura \ del \ edificio }{ tan(40^o) } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {distancia \ al \ edificio = \frac{ 70 \ m }{ tan(40^o) } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ edificio = \frac{ 70 \ m }{ 0.839099631177 } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { distancia \ al \ edificio = 83.42227 \ metros } }[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { distancia \ al \ edificio \approx 83.42 \ metros } }[/tex]
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto, donde se comprueba el resultado obtenido
