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En un circo las entradas para adultos cuesta 10 soles y la de niños 4 soles. Un día en que asisten 80 personas entre adultos y niños se recaudo 440 soles ¿Cuantos niños asistieron?

Sagot :

Asistieron al circo 20 adultos y 60 niños

Establecemos las ecuaciones que modelan la situación del problema  

Llamamos variable "x" a la entrada de adultos de $ 10 soles de costo

Y variable "y" a la entrada de niños de precio $ 4 soles para asistir al circo

Donde sabemos que

El total de asistentes al circo fue de 80 personas

Donde el monto total recaudado por la venta de las entradas para asistir al circo fue de $ 440

Pagando los adultos por la entrada al circo $ 10 soles

Pagando los niños por la entrada al circo $ 4 soles

Estamos en condiciones de plantear un sistema de ecuaciones que satisfaga al problema

El sistema de ecuaciones:

Sumamos la cantidad de entradas de adultos vendidas para asistir al circo y el número de entradas de niños vendidas para acudir al circo, para establecer la primera ecuación y la igualamos a la cantidad de asistentes al evento

[tex]\large\boxed {\bold {x + y =80 }}[/tex]                       [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]

Luego como por las entradas de adultos se pagaron a $ 10 soles y las entradas de niños se vendieron a $ 4 soles, planteamos la segunda ecuación, y la igualamos al monto total de dinero recaudado por la venta de entradas para asistir al circo

[tex]\large\boxed {\bold {10x + 4y =440 }}[/tex]          [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]

Luego

Despejamos y en la primera ecuación

En                               

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {x + y =80 }}[/tex]

Despejamos y

[tex]\large\boxed {\bold {y =80 -x }}[/tex]                       [tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]

Resolvemos el sistema de ecuaciones

Reemplazando

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {y =80 -x }}[/tex]        

[tex]\large\textsf {En Ecuaci\'on 2 }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {10x + 4y =440 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { 10x+ 4\ (80 -x) = 440 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { 10x+320-4x = 440 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {10x-4x+ 320 = 440 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {6x+320 =440}}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { 6x = 440-320 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { 6x =120 }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold { x = \frac{120}{6} }}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold { x =20 }}[/tex]

Por lo tanto dado que se vendieron 20 entradas de adultos de $ 10 soles de costo el número de adultos que acudieron al circo fue de 20

Hallamos la cantidad de entradas de niños de precio $ 4 soles que se vendieron para asistir al circo

Reemplazando el valor hallado de x en

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 3 }[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {y =80 -x }}[/tex]

[tex]\boxed {\bold {y =80-20}}[/tex]

[tex]\large\boxed {\bold {y =60 }}[/tex]

Luego debido a que se vendieron 60 entradas de niños de precio $ 4 soles la cantidad de niños que asistieron al circo fue de 60

Verificación

Reemplazamos los valores hallados para x e y en el sistema de ecuaciones

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 1 }[/tex]

[tex]\boxed {\bold {x + y = 80 \ asistentes}}[/tex]

[tex]\bold { 20 \ adultos+ 60 \ menores =80 \ asistentes }[/tex]

[tex]\boxed {\bold {80 \ asistentes =80 \ asistentes }}[/tex]

[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]

[tex]\large\textsf{Ecuaci\'on 2 }[/tex]

[tex]\boxed {\bold {10x + 4y =440 }}[/tex]

[tex]\bold {\$ \ 10 \cdot 20 \ adultos + \$ \ 4 \cdot 60 \ menores = \$\ 440 }[/tex]

[tex]\bold {\$\ 200+ \$\ 240 = \$\ 440 }[/tex]

[tex]\boxed {\bold {\$\ 440= \$\ 440 }}[/tex]

[tex]\textsf{Se cumple la igualdad }[/tex]

Para finalizar si este problema se hubiese resuelto de manera gráfica, se trazarían las rectas que componen el sistema de ecuaciones con dos incógnitas que modelan el problema. Encontrándose la solución al problema en el punto que las 2 rectas se intersecan

Se agrega la representación gráfica sólo a fines ilustrativos

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