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Sagot :
La ecuación de la recta que pasa por los puntos o pares ordenados dados: A(6,2) y B(-3,-4) está dada por:
Expresada en la Forma Explícita:
[tex]\large\boxed {\bold { y =\frac{2}{3}x-2 }}[/tex]
Expresada en la Forma General:
[tex]\large\boxed {\bold {2x -3y -6= 0 }}[/tex]
Para determinar la ecuación de la recta que pasa por dos puntos dados debemos primero hallar la pendiente
Por tanto dados dos puntos pertenecientes a una recta con coordenadas:
[tex]\bold { A \ (x_{1},y_{1} ) \ y \ \ B \ (x_{2},y_{2} )}[/tex]
Definimos a la pendiente m de una recta como el cociente entre la diferencia de las ordenadas y la diferencia de las abscisas de los puntos conocidos pertenecientes a la recta
Lo que resulta en
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
Determinamos la pendiente de la recta que pasa por los puntos A(6,2) y B(-3,-4)
[tex]\bold { A\ (6,2) \ ( x_{1},y_{1}) \ \ \ B \ ( -3,-4) \ ( x_{2},y_{2}) }[/tex]
Hallamos la pendiente
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ y_{2} -y_{1} }{ x_{2} -x_{1} } }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ -4 - (2) }{-3 - (6) } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{-4-2 }{ -3-6 } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ -6 }{-9 } }}[/tex]
[tex]\boxed{\bold {m = \frac{ 6 }{9 } }}[/tex]
[tex]\textsf{Simplificando }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold {m = \frac{ 2 }{3 } }}[/tex]
La pendiente m es igual a 2/3
Empleamos la ecuación en la forma punto pendiente para hallar la ecuación de la recta solicitada
Cuya forma está dada por:
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
Donde x1 e y1 son las coordenadas de un punto cualesquiera conocido perteneciente a la recta y donde m = 2/3 es la pendiente. Como conocemos el punto A (6,2) tomaremos x1 =6 e y1 = 2
Por tanto:
[tex]\large\textsf{Tomamos el valor de la pendiente } \bold {m=\frac{2}{3} } \\\large\textsf{y un punto dado } \bold { A \ (6,2 )}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazando } \bold { x_{1} \ y \ y_{1} } \\\large\textsf{En la forma punto pendiente: }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y - y_{1} = m\ (x - x_{1} )}}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y - (2) = \frac{2}{3} \cdot (x- (6)) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y-2=\frac{2}{3} \cdot (x-6) }}[/tex]
Reescribimos la ecuación de la recta en la forma pendiente punto de intercepción o pendiente ordenada al origen
También llamada forma principal o explícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { y = mx +b }}[/tex]
Donde m es la pendiente y b la intersección en Y
Resolvemos para y
[tex]\boxed {\bold { y-2=\frac{2}{3} \cdot (x-6) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y -2 =\frac{2}{3}x -\frac{12}{3} }}[/tex]
[tex]\textsf{Dividiendo }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y -2 =\frac{2}{3}x -4 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =\frac{2}{3}x -4 +2 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { y =\frac{2}{3}x-2 }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma explícita
Reescribimos la ecuación en la forma general de la recta
También llamada forma implícita
Que responde a la forma:
[tex]\large\boxed {\bold { Ax +By + C = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { y =\frac{2}{3}x-2 }}[/tex]
[tex]\textsf{Igualamos a cero }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{2}{3}x-2-y=0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{2}{3} x- y -2 = 0 }}[/tex]
Para obtener una ecuación general o implícita sin fracciones:
Multiplicamos la ecuación por 3
[tex]\boxed {\bold { \frac{2}{3} x\cdot 3 -y\cdot 3 -2 \cdot 3 = 0 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { \frac{2}{\not3} x\cdot\not 3 -y\cdot 3 -2\cdot 3 = 0 }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Obteniendo }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold {2x -3y -6= 0 }}[/tex]
Habiendo hallado la ecuación de la recta solicitada en la forma general o implícita
Se agrega gráfico solicitado como archivo adjunto
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