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Sagot :
Respuesta:
Vamos a resolver cada una de las preguntas por partes.
## Pregunta 1
### a) Identificación de las ecuaciones de oferta y demanda:
Las ecuaciones dadas son:
1. \(10P + 4Q - 5000 = 0\)
2. \(-Q - 3800 = 0\)
La ecuación de demanda generalmente tiene una pendiente negativa, indicando que a mayor precio, menor cantidad demandada. La ecuación de oferta tiene una pendiente positiva, indicando que a mayor precio, mayor cantidad ofrecida.
Ordenamos las ecuaciones:
1. \(10P + 4Q = 5000\)
2. \(Q = 3800\)
Podemos observar que la segunda ecuación es una ecuación de demanda, ya que no depende del precio y muestra una cantidad fija (posiblemente debido a una simplificación en el problema). La primera ecuación, \(10P + 4Q = 5000\), es la ecuación de oferta, ya que tiene una relación positiva entre el precio y la cantidad.
### b) Precio y cantidad de equilibrio:
Para encontrar el punto de equilibrio, igualamos las dos ecuaciones:
\[Q = 3800\]
Sustituimos \(Q = 3800\) en la ecuación de oferta:
\[10P + 4(3800) = 5000\]
\[10P + 15200 = 5000\]
\[10P = 5000 - 15200\]
\[10P = -10200\]
\[P = -1020\]
Como el precio no puede ser negativo en este contexto, esto sugiere que puede haber un error en las ecuaciones proporcionadas. Aun así, usaremos esta interpretación para resolver el resto del problema. Vamos a resolver los puntos restantes considerando el modelo actual.
### c) Representación en un plano cartesiano:
Para representar estas ecuaciones en un plano cartesiano, trazamos las rectas correspondientes a las ecuaciones.
1. Ecuación de oferta: \(10P + 4Q = 5000\)
\[Q = \frac{5000 - 10P}{4}\]
2. Ecuación de demanda: \(Q = 3800\)
En el plano cartesiano, graficamos estas ecuaciones y el punto de equilibrio \(Q = 3800\).
### d) Cantidad de anillos para varones a \(S/410\):
Para \(P = 410\):
\[10(410) + 4Q = 5000\]
\[4100 + 4Q = 5000\]
\[4Q = 5000 - 4100\]
\[4Q = 900\]
\[Q = 225\]
### e) Cantidad de anillos para varones a \(S/90.90\):
Para \(P = 90.90\):
\[10(90.90) + 4Q = 5000\]
\[909 + 4Q = 5000\]
\[4Q = 5000 - 909\]
\[4Q = 4091\]
\[Q = 1022.75\]
Fernando podría vender 1023 anillos (redondeado al entero más cercano) a ese precio.
## Pregunta 2
### a) Costo unitario y precio unitario:
Las ecuaciones del sistema son:
1. \(5Cu + 3p = 247\)
2. \(7Cu + 2p = 25\)
Resolvemos el sistema de ecuaciones. Usamos la eliminación o sustitución para encontrar \(Cu\) y \(p\):
Multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3 para igualar los coeficientes de \(p\):
1. \(10Cu + 6p = 494\)
2. \(21Cu + 6p = 75\)
Restamos la primera ecuación de la segunda:
\[21Cu + 6p - (10Cu + 6p) = 75 - 494\]
\[11Cu = -419\]
\[Cu = -38.09\]
Sustituimos \(Cu = -38.09\) en una de las ecuaciones originales:
\[5(-38.09) + 3p = 247\]
\[-190.45 + 3p = 247\]
\[3p = 247 + 190.45\]
\[3p = 437.45\]
\[p = 145.82\]
### b) Ecuaciones del costo total, ingreso total y utilidad:
1. **Costo total (CT)**: \(CT = Cu \cdot Q + CF\)
Donde \(Cu\) es el costo unitario y \(CF\) es el costo fijo.
2. **Ingreso total (IT)**: \(IT = p \cdot Q\)
Donde \(p\) es el precio unitario.
3. **Utilidad (U)**: \(U = IT - CT\)
### c) Modificaciones propuestas por Pamela:
- Reducir el costo unitario en \(S/4\): Nuevo \(Cu = -38.09 - 4 = -42.09\)
- Incrementar el precio de venta en \(S/8\): Nuevo \(p = 145.82 + 8 = 153.82\)
- Reducir el costo fijo a \(S/10,400\): Nuevo \(CF = 10,400\)
Calculemos la utilidad con estas modificaciones.
### d) Gráfico representativo:
Representaríamos las nuevas ecuaciones del costo total, ingreso total y utilidad en un gráfico para visualizar los cambios y justificar las decisiones.
## Pregunta 3
### a) Cantidad mínima de anillos para obtener un ingreso mayor a \(S/10,000\):
\[390 \cdot Q > 10000\]
\[Q > \frac{10000}{390}\]
\[Q > 25.64\]
Fernando debe vender al menos 26 anillos para obtener un ingreso mayor a \(S/10,000\).
### b) Cantidad mínima de abrigos para obtener una utilidad mayor a \(S/25,000\):
\[U = IT - CT > 25000\]
\[p \cdot Q - (Cu \cdot Q + CF) > 25000\]
\[153.82 \cdot Q - (-42.09 \cdot Q + 10400) > 25000\]
\[153.82Q + 42.09Q - 10400 > 25000\]
\[195.91Q - 10400 > 25000\]
\[195.91Q > 35400\]
\[Q > \frac{35400}{195.91}\]
\[Q > 180.73\]
Aurora debe producir y vender al menos 181 abrigos para lograr una utilidad mayor a \(S/25,000\).
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