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Sagot :
La longitud del túnel es de aproximadamente 127.7 metros
Se trata de un problema trigonométrico en un triángulo cualesquiera.
Se representa la situación en un triángulo ABC: en donde en el vértice C se encuentra el punto en donde se situó el topógrafo para medir, donde el lado AC (b) representa una de las mediciones realizadas por el topógrafo -desde el punto C hasta el punto A donde se halla una entrada extrema del túnel- la cual es vista con un ángulo de 42° y el lado BC (a) equivale a la otra medición efectuada por el topógrafo -desde el punto C hasta el punto B donde se ubica la otra entrada extrema del túnel- la cual es vista con un ángulo de 28°. Estando el topógrafo ubicado en el punto C. Y el lado AB (c) define la longitud del túnel -con sus entradas extremas ubicadas respectivamente en los puntos A y B- la cual es nuestra incógnita
Donde se pide calcular la longitud del túnel
Determinamos el ángulo de avistamiento en el punto C -donde se encuentra el topógrafo- hasta las dos entradas del túnel ubicadas en los puntos A y B
Dado que el topógrafo observa la entrada del túnel A y la entrada del túnel B con ángulos de 42° y de 28° respectivamente
La sumatoria de estos dos ángulos nos dará el ángulo de avistamiento C desde el topógrafo hasta las dos entradas A y B del túnel
Teniendo:
[tex]\boxed {\bold { C= 42^o+28^o }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { C= 70^o }}[/tex]
Luego el topógrafo avista las entradas A y B del túnel con un ángulo de 70°
Por tanto conocemos para este triángulo:
[tex]\large\textsf{Distancia hasta la Entrada A del T\'unel }[/tex]
[tex]\bold{\overline{AC}=b= 120\ m }[/tex]
[tex]\large\textsf{Distancia hasta la Entrada B del T\'unel }[/tex]
[tex]\bold{\overline{BC}=a=101 \ m }[/tex]
[tex]\large\textsf{\'Angulo de Avistamiento del Top\'ografo a A y B }[/tex]
[tex]\bold{C =70^o}[/tex]
Ver gráfico adjunto
Luego calculamos la longitud del túnel
Aplicando el teorema del coseno
¿Qué es el Teorema del Coseno?
El teorema del coseno, llamado también como ley de cosenos es una generalización del teorema de Pitágoras en los triángulos.
El teorema relaciona un lado de un triángulo cualquiera con los otros dos y con el coseno del ángulo formado por esos dos lados.
El teorema del coseno dice:
Dado un triángulo ABC cualquiera siendo α, β y γ los ángulos, y a, b y c los lados respectivamente opuestos a estos ángulos,
Entonces se cumplen las relaciones:
[tex]\large\boxed {\bold { a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 \cdot b \cdot c \cdot cos(\alpha ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 \cdot a \cdot c \cdot cos(\beta ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
Hallamos la longitud del túnel
La cual está dada por el lado faltante del triángulo lado AC (c)
Conocemos el valor de dos lados y la dimensión del ángulo comprendido entre ellos, luego empleamos el teorema del coseno para determinar la longitud del túnel
Por el teorema del coseno podemos expresar
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(\gamma ) }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 \cdot a \cdot b \cdot cos(C ) }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores }[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = (101 \ m)^{2} + ( 120 \ m)^{2} - 2 \cdot 101 \ m \cdot 120 \ m \cdot cos(70^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} = 10201 \ m^{2} + 14400 \ m^{2} - 24240 \ m^{2} \cdot cos(70^o) }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =24601\ m^{2} - 24240\ m^{2} \cdot 0.342020143326 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { c^{2} =24601\ m^{2} -8290.56827422224 \ m^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {c^{2} =16310.43172577776 \ m^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\sqrt{ c ^{2} } = \sqrt{ 16310.43172577776 \ m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {c = \sqrt{16310.43172577776 \ m^{2} } }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold {c \approx 127.7123 \ metros }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Por imposici\'on de enunciado: }[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando a la d\'ecima: }[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c \approx 127.7 \ metros}}[/tex]
La longitud del túnel es de aproximadamente 127.7 metros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión entre las relaciones entre los lados y los ángulos planteados, donde se comprueba el resultado obtenido
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