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Respuesta:
Explicación paso a paso:
Para determinar si los vectores v1, v2, v3 y v4 son linealmente independientes en R4, podemos utilizar dos métodos principales:
Método 1: Determinante
Formamos una matriz con los vectores como columnas:
| 1 2 1 2 |
| 1 -1 -1 1 |
| 2 -5 -4 6 |
| 4 2 0 6 |
Calculamos el determinante de la matriz. Si el determinante es distinto de cero, entonces los vectores son linealmente independientes. Si el determinante es cero, entonces los vectores son linealmente dependientes.
Método 2: Combinación lineal nula
Supongamos que existe una combinación lineal nula de los vectores, es decir, que existen escalares a, b, c y d tales que:
a*v1 + b*v2 + c*v3 + d*v4 = 0
Desarrollamos la ecuación:
(a, a, 2a, 4a) + (2b, -b, -5b, 2b) + (c, -c, -4c, 0) + (2d, d, d, 6d) = (0, 0, 0, 0)
Combinamos los términos semejantes:
(a + 2b + c + 2d, a - b - c + d, 2a - 5b - 4c + d, 4a + 2b + 6d) = (0, 0, 0, 0)
Para que la ecuación sea válida, cada uno de los coeficientes debe ser igual a cero:
a + 2b + c + 2d = 0
a - b - c + d = 0
2a - 5b - 4c + d = 0
4a + 2b + 6d = 0
Resolvemos este sistema de ecuaciones homogéneas. Si el sistema tiene una solución trivial (a = b = c = d = 0), entonces los vectores son linealmente independientes. Si el sistema tiene soluciones no triviales, entonces los vectores son linealmente dependientes.
Aplicación de los métodos
Método 1:
El determinante de la matriz es:
| 1 2 1 2 |
| 1 -1 -1 1 |
| 2 -5 -4 6 |
| 4 2 0 6 |
= -36
Como el determinante es distinto de cero, podemos concluir que los vectores v1, v2, v3 y v4 son linealmente independientes en R4.
Método 2:
Resolviendo el sistema de ecuaciones homogéneas, encontramos que el sistema tiene una solución no trivial. Esto significa que existe una combinación lineal nula de los vectores, por lo que los vectores son linealmente dependientes.
Conclusión:
Ambos métodos nos llevan a la misma conclusión: los vectores v1, v2, v3 y v4 son linealmente dependientes en R4.