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Sagot :
La altura h a la que se encuentra el globo es de 90√3 metros o de aproximadamente 155.88 metros
Se trata de un problema de razones trigonométricas en un triángulo rectángulo.
Las razones trigonométricas de un ángulo α son las razones obtenidas entre los tres lados de un triángulo rectángulo.
Donde el triángulo dado de 30-60 resulta ser lo que se denomina un triángulo notable
La altura a la que se encuentra el globo -medida perpendicularmente desde el suelo- forma un ángulo recto, por lo tanto tenemos un triángulo rectángulo. Luego representamos la situación en un triángulo rectángulo ABC: el cual está conformado por el lado AC (b) que define la distancia horizontal desde el amarre -anclado al suelo- de la cuerda que sujeta al globo hasta el punto donde se encuentra dicho globo -medido perpendicularmente desde el plano del suelo-, el lado AB (c) que representa la longitud de la cuerda que sostiene al globo. Teniendo finalmente el lado BC (a) que equivale a la altura a la que se encuentra el globo sobre el suelo -la cual es nuestra incógnita. Donde la cuerda que sujeta al globo forma con el punto de amarre en el suelo un ángulo de elevación de 60°.
Donde se pide hallar:
La altura h a la que se encuentra el globo
Esto se puede observar en el gráfico adjunto
Conocemos la distancia horizontal desde donde se ubica el amarre de la cuerda hasta el punto donde se eleva el globo y de un ángulo de elevación de 60°
- Distancia horizontal desde el amarre hasta el punto donde se eleva el globo = 90 metros
- Ángulo de elevación = 60°
- Debemos hallar la altura h a la que se encuentra el globo
Si la tangente de un ángulo α se define como la razón entre el cateto opuesto y el cateto adyacente:
Como sabemos el valor del cateto adyacente al ángulo dado -que es la distancia horizontal desde el amarre de la cuerda en el suelo hasta el punto donde se eleva el globo y conocemos un ángulo de elevación de 60° y debemos hallar la altura h a la que se encuentra el globo, la cual es el cateto opuesto al ángulo dado del triángulo rectángulo determinamos dicha longitud mediante la razón trigonométrica tangente del ángulo α para determinar la incógnita
Razones trigonométricas con ángulos notables
Hallamos la altura h a la que se encuentra el globo
Relacionamos los datos con la tangente del ángulo α [tex]\bold{\alpha =60^o}[/tex]
Como el triángulo es notable de 30-60 al conocer el valor del cateto adyacente al ángulo de 60°, para hallar la dimensión del cateto opuesto basta multiplicar el valor del cateto adyacente al ángulo de 60° por √3
Los cálculos nos darán la razón
Planteamos
[tex]\boxed{\bold { tan(60^o )= \frac{ cateto\ opuesto }{ cateto\ adyacente } } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { tan(60^o) = \frac{ altura\ del \ globo }{ distancia \ al \ globo} } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold {altura\ del \ globo = distancia \ al \ globo \cdot tan(60^o) } }[/tex]
Como tenemos un ángulo notable
[tex]\large \textsf{El valor exacto de tan de 60 grados es } \bold { \sqrt{3} }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura\ del \ globo = 90\ m \cdot tan(60^o) } }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura\ del \ globo = 90 \ m \cdot \sqrt{3} } }[/tex]
[tex]\large\textsf{Expresado en Forma Exacta: }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { altura\ del \ globo= 90\sqrt{3} \ metros } }[/tex]
[tex]\large\textsf{Expresado de manera decimal: }[/tex]
[tex]\boxed{\bold { altura\ del \ globo \approx 155.8845 \ metros } }[/tex]
[tex]\textsf{Redondeando }[/tex]
[tex]\large\boxed{\bold { altura\ del \ globo \approx 155.88 \ metros } }[/tex]
Luego la altura h a la que se encuentra el globo es de 90√3 metros o de aproximadamente 155.88 metros
Se agrega gráfico a escala para mejor comprensión del problema propuesto, donde se comprueba el resultado obtenido
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