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Respuesta:
Para resolver este problema de movimiento rectilíneo uniformemente variado (MRUV), sigamos los siguientes pasos:
### Datos proporcionados:
1. José está 40 metros detrás de Pedro.
2. Velocidad de José (\(v_J\)) = 30 m/s.
3. Desaceleración de José (\(a_J\)) = -2 m/s².
Vamos a determinar:
- La velocidad de Pedro (\(v_P\)) en el momento en que aplica los frenos.
- La desaceleración de Pedro (\(a_P\)).
- La posición del hueco.
### a) Posición del hueco y frenado de José:
Utilizando la ecuación del MRUV:
\[ v^2 = u^2 + 2as \]
donde \(v\) es la velocidad final (0 m/s), \(u\) es la velocidad inicial (30 m/s), \(a\) es la aceleración (-2 m/s²) y \(s\) es la distancia recorrida.
\[ 0 = (30)^2 + 2(-2)s \]
\[ 0 = 900 - 4s \]
\[ 4s = 900 \]
\[ s = 225 \text{ m} \]
José se detiene después de recorrer 225 metros desde el punto en que comenzó a frenar.
### b) Posición inicial de José y Pedro respecto al hueco:
Si José se detiene a 225 metros, la posición del hueco respecto al punto de frenado de José es 225 metros.
Como Pedro está 40 metros delante de José:
- La distancia que Pedro debe recorrer para detenerse es \(225 + 40 = 265 \text{ m}\).
### c) Velocidad y desaceleración de Pedro:
Para que Pedro se detenga en 265 metros con la misma ecuación:
\[ v^2 = u^2 + 2as \]
donde \(v\) es la velocidad final (0 m/s), \(a\) es la aceleración desconocida (\(a_P\)), \(u\) es la velocidad inicial (\(v_P\)) y \(s\) es 265 m.
Primero, planteamos la relación de las desaceleraciones. Dado que ambos se detienen simultáneamente, el tiempo (\(t\)) para detenerse es el mismo para José y Pedro. Usamos la fórmula \(v = u + at\) y \(s = ut + \frac{1}{2}at^2\):
Para José:
\[ 0 = 30 + (-2)t \]
\[ t = 15 \text{ s} \]
Usamos el tiempo para Pedro:
\[ s_P = v_P t + \frac{1}{2} a_P t^2 \]
Sabemos que \(s_P = 265 \text{ m}\) y \(t = 15 \text{ s}\):
\[ 265 = v_P (15) + \frac{1}{2} a_P (15)^2 \]
\[ 265 = 15v_P + 112.5a_P \]
Además:
\[ 0 = v_P + a_P (15) \]
\[ a_P = -\frac{v_P}{15} \]
Sustituimos en la ecuación de posición:
\[ 265 = 15v_P + 112.5(-\frac{v_P}{15}) \]
\[ 265 = 15v_P - 7.5v_P \]
\[ 265 = 7.5v_P \]
\[ v_P = \frac{265}{7.5} \]
\[ v_P \approx 35.33 \text{ m/s} \]
Para la desaceleración de Pedro:
\[ a_P = -\frac{v_P}{15} \]
\[ a_P = -\frac{35.33}{15} \]
\[ a_P \approx -2.36 \text{ m/s}^2 \]
### Resumen:
- **Velocidad de Pedro al momento de aplicar los frenos**: \(35.33 \text{ m/s}\)
- **Desaceleración de Pedro**: \(-2.36 \text{ m/s}^2\)
- **Posición del hueco**: \(225 \text{ m}\) desde el punto inicial de frenado de José.
Estas soluciones garantizan que tanto José como Pedro se detengan en el mismo punto (el hueco) simultáneamente.