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Sagot :
El triángulo ABC es escaleno y rectángulo
Llevamos el problema al plano cartesiano
Dados los vértices de un triángulo en el plano cartesiano se pide determinar que clase de triángulo se tiene
Vértices:
[tex]\bold{A (5,4) }[/tex]
[tex]\bold{B (-4,6) }[/tex]
[tex]\bold{C (-3,2) }[/tex]
Clasificación por lados
Dado que el polígono, -que en este caso es un triángulo- se encuentra en el plano cartesiano, para poder determinar que tipo de triángulo es con respecto a las medidas de sus lados: equilátero, isósceles o escaleno
Debemos determinar las dimensiones de los lados para establecer de que tipo de triángulo se trata
Para ello emplearemos la fórmula de la distancia entre dos puntos
[tex]\large\boxed{ \bold { Distancia = \sqrt{(x_{2} - x_{1} )^{2} +(y_{2} -y_{1} )^{2} } } }[/tex]
a) Determinamos la longitud del lado AB
[tex]\bold{A (5,4) \ \ \ B(-4,6)}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AB} = \sqrt{((-4)-5 )^{2} +(6 -4 )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AB} = \sqrt{(-4-5 )^{2} +(6 -4 )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AB}= \sqrt{(-9)^{2} +2^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AB} = \sqrt{ 81 + 4 } } }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AB} = \sqrt{85 } \ unidades } }[/tex]
[tex]\bold{Lado \ \overline{AB} \approx 9.22 \ u}[/tex]
b) Determinamos la longitud del lado BC
[tex]\bold{B (-4,6) \ \ \ C(-3,2)}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {BC} = \sqrt{((-3)-(-4) )^{2} +(2-6 )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {BC} = \sqrt{(-3+4 )^{2} +(2-6 )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {BC}= \sqrt{ 1 ^{2} + (-4)^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold {Lado \ \overline {BC} = \sqrt{1 + 16 } } }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold { Lado \ \overline {BC} = \sqrt{17} \ unidades } }[/tex]
[tex]\bold{Lado \ \overline{BC} \approx 4.12 \ u}[/tex]
c) Determinamos la longitud del lado AC
[tex]\bold{A (5,4) \ \ \ C(-3,2)}[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AC} = \sqrt{((-3)-5 )^{2} +(2-4 )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AC} = \sqrt{(-3-5 )^{2} +(2-4 )^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold { Lado \ \overline {AC}= \sqrt{(-8)^{2} + (-2)^{2} } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} = \sqrt{64 + 4 } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} = \sqrt{68 } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} = \sqrt{4 \cdot 17 } } }[/tex]
[tex]\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} = \sqrt{2^{2} \cdot 17 } } }[/tex]
[tex]\large\boxed{ \bold {Lado \ \overline {AC} =2\sqrt{17 } \ unidades } }[/tex]
[tex]\bold{Lado \ \overline{AC} \approx 8.25 \ u}[/tex]
Conocidas las magnitudes de todos los lados del triángulo
Se ha hallado que los tres lados tienen distinta longitud
Por lo tanto según la medida de sus lados, el triángulo es escaleno, con sus tres lados desiguales
Clasificación por ángulos
Según la figura que se adjunta se observa que los lados BC y AC forman un ángulo recto de 90°, luego el triángulo es rectángulo
Luego
Lo demostramos empleando el Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras dice que: "En todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos"
[tex]\large\boxed {\bold { hipotenusa^{2} = cateto \ 1^{2} + cateto \ 2^{2} }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} }}[/tex]
Empleamos la notación habitual en triángulos rectángulos
Luego a los lados de menor magnitud los denotaremos como "a" y "b" y serán los catetos
Y como sabemos que en un triángulo rectángulo el lado de mayor valor es la hipotenusa a ese lado lo llamaremos "c"
Luego tendremos:
[tex]\large\textsf{a = Lado BC = Cateto 1 = }\bold{\sqrt{17} \ unidades }[/tex]
[tex]\large\textsf{b = Lado AC = Cateto 2 = }\bold{2\sqrt{17} \ unidades }[/tex]
[tex]\large\textsf{c = Lado AB = Hipotenusa = }\bold{\sqrt{85} \ unidades }[/tex]
Donde si se cumple que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, luego el triángulo será rectángulo.
Si esto no se cumple no lo será
Aplicamos el teorema de Pitágoras para determinar si el triángulo ABC es rectángulo o no lo es
[tex]\large\boxed {\bold { c^{2} = a^{2} + b^{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{Reemplazamos valores y resolvemos }[/tex]
[tex]\boxed {\bold {\left(\sqrt{85}\right ) ^{2} = \left(\sqrt{17}\right )^{2} + \left(2\sqrt{17}\right ) ^{2} }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 85 = 17 +2^{2} \cdot 17 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 85 = 17 + 4 \cdot 17 }}[/tex]
[tex]\boxed {\bold { 85= 17 +68 }}[/tex]
[tex]\large\boxed {\bold { 85 \ u ^{2} = 85 \ u^{2} }}[/tex]
[tex]\large\textsf{ Se cumple la igualdad }[/tex]
Concluyendo que como el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos por lo tanto el triángulo ABC es rectángulo
Se agrega gráfico como archivo adjunto
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